Regressionslinjen

Den räta linje som ligger närmast ett punktdiagram, mätt som minsta summa av kvadrerade avstånd i y-led.

k = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}

Finns iMa2

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 2b, Matematik 2c
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik nivå 2b, Matematik nivå 2c

Variabler

Symbol	Betydelse	Enhet
$k$	Regressionslinjens lutning	y-enhet per x-enhet, till exempel cm per år
$m$	Linjens konstantterm, beräknad som $m = \bar{y} - k\bar{x}$	samma som värdena
$x_i$	Det $i$ :te värdet i den förklarande variabeln	samma som värdena
$y_i$	Det $i$ :te värdet i den beroende variabeln	samma som värdena
$\bar{x}$	Medelvärdet av alla $x$ -värden	samma som värdena
$\bar{y}$	Medelvärdet av alla $y$ -värden	samma som värdena

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Gäller när

Linjen är $y = kx + m$ med $m = \bar{y} - k\bar{x}$ . Linjen går alltid genom punkten $(\bar{x}, \bar{y})$ .
Metoden minimerar avstånden i $y$ -led, inte vinkelrätt mot linjen. Att byta plats på $x$ och $y$ ger därför en annan linje.
Minst två av $x$ -värdena måste vara olika. Är alla lika är nämnaren noll och det finns ingen linje.

Regressionslinjen i en bild

Linjen är den som gör summan av de kvadrerade avstånden till punkterna så liten som möjligt.

Hur räknar man ut en regressionslinje?

När mätdata ska sammanfattas med en formel i stället för en tabell. En typisk modelleringsuppgift i Matematik 2 ser ut så: mät något, rita punkterna, lägg en linje genom dem och använd linjen för att uppskatta ett värde däremellan.

Linjen beräknas med minsta kvadratmetoden, och räknaren gör det under namnet LinReg eller motsvarande. Formlerna ovan är vad den räknar, och de är värda att se en gång, eftersom de visar varför linjen alltid passerar medelpunkten i punktsvärmen.

Exempel

Fyra mätningar gav $x = 1, 2, 3, 4$ och $y = 2, 4, 5, 9$ . Bestäm regressionslinjen.

Medelvärdena

\bar{x} = 2{,}5 \quad \bar{y} = 5

Täljaren är summan av produkterna av avvikelserna

\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 11

Nämnaren är kvadratsumman i

x

-led

\sum (x_i - \bar{x})^2 = 5

Lutningen

k = \frac{11}{5} = 2{,}2

Konstanttermen fås ur att linjen går genom medelpunkten

m = 5 - 2{,}2 \cdot 2{,}5 = -0{,}5

Svar: $y = 2{,}2x - 0{,}5$

Kontroll: Sätt in $x = 2{,}5$ . Då blir $y = 2{,}2 \cdot 2{,}5 - 0{,}5 = 5$ , alltså precis $\bar{y}$ .

Vanliga fel

Att använda linjen utanför mätområdet. En regressionslinje beskriver de punkter den byggdes på, och säger inget om vad som händer långt utanför dem.
Att byta plats på $x$ och $y$ och vänta sig samma linje. Metoden är inte symmetrisk.
Att redovisa en linje utan att ange hur väl den passar. Lutningen finns så snart x-värdena inte alla är lika, även för en punktsvärm utan samband.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Regressionslinjen. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/regressionslinje/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-25Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (2)

2026-09-25

Rättat: Sidan sa att lutningen alltid finns. Den finns bara om minst två $x$ -värden är olika.
Förtydligat: Lutningens enhet är $y$ -enhet per $x$ -enhet, till exempel cm per år.