Formelsamling

Kvadratkomplettering

Skriver om ett andragradsuttryck så att xx förekommer på ett enda ställe, inuti en kvadrat.

x2+px=(x+p2)2−(p2)2x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2

x² + px = (x + p/2)² - (p/2)²

Finns iMa2

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025
Matematik 2a, Matematik 2b, Matematik 2c
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare
Matematik nivå 2a, Matematik nivå 2b, Matematik nivå 2c

Variabler

SymbolBetydelse
xxDen obekanta
ppKoefficienten framför xx

Gäller när

  • Koefficienten framför x2x^2 är 1. Är den något annat, dividera hela ekvationen med den först, eller bryt ut den ur uttrycket.

Kvadratkomplettering i en graf

Kvadratkomplettering flyttar bara om uttrycket. Kurvan är densamma, men symmetrilinjen syns direkt.

Graf av y = x² + 4x + 1Kurvan y = x² + 4x + 1 ritad för x mellan −8 och 4.−8−6−4−224−1010203040
f
y = x² + 4x + 1

När används Kvadratkomplettering?

När ett andragradsuttryck ska skrivas om så att xx bara står på ett ställe. Det används för att lösa andragradsekvationer och för att hitta parabelns symmetrilinje och extrempunkt.

Metoden bygger på kvadreringsregeln baklänges. Hälften av koefficienten framför xx, kvadrerad, är precis det som saknas för att uttrycket ska bli en färdig kvadrat, och det talet läggs till och dras bort igen.

Namnet kommer av att uttrycket kompletteras till en fullständig kvadrat, alltså ett uttryck som är kvadraten på en parentes, som (x+3)2(x + 3)^2. En fullständig kvadrat, som också kallas jämn kvadrat, är alltså resultatet. Kvadratkomplettering är vägen dit.

Det är också härledningen bakom pq-formeln. Kvadratkomplettera x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 i allmänhet och du får formeln direkt.

Exempel

Kvadratkomplettera x2+6xx^2 + 6x.

Halvera koefficienten framför x62=3\frac{6}{2} = 3
Skriv kvadraten med den halvan i(x+3)2(x + 3)^2
Kvadraten innehåller ett extra tillskott. Dra bort det.x2+6x=(x+3)2−9x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9

Svar: x2+6x=(x+3)2−9x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9

Kontroll: Utveckla högerledet: (x+3)2−9=x2+6x+9−9=x2+6x(x + 3)^2 - 9 = x^2 + 6x + 9 - 9 = x^2 + 6x. Stämmer.

Vanliga fel

  • Att glömma dra bort (p2)2\left(\frac{p}{2}\right)^2. Kvadraten lägger till ett tillskott som inte fanns i uttrycket.
  • Att halvera fel tal. Det är koefficienten framför xx som halveras, inte konstanttermen.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Kvadratkomplettering. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/kvadratkomplettering/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0. Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel
Ändringar på sidan (1)

  • Förtydligat: Är koefficienten framför x2x^2 inte 1, dividera först med den eller bryt ut den.