Formelsamling

pq-formeln

Lösningsformeln för andragradsekvationer på formen x2+px+q=0x^2 + px + q = 0.

Kallas också lösningsformeln.

x=−p2±(p2)2−qx = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}

x = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Finns iMa2

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025
Matematik 2a, Matematik 2b, Matematik 2c
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare
Matematik nivå 2a, Matematik nivå 2b, Matematik nivå 2c

Variabler

SymbolBetydelse
xxEkvationens lösningar, högst två, en med plus och en med minus. Hur många det blir avgör tabellen nedan.
ppKoefficienten framför x
qqKonstanttermen

Gäller när

  • Ekvationen står på formen x2+px+q=0x^2 + px + q = 0, med noll i högerledet.
  • Koefficienten framför x2x^2 är 1. Är den något annat, dela hela ekvationen med den först.

Hur många lösningar har ekvationen?

OmDå
(p2)2−q>0\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q > 0Två reella lösningar
(p2)2−q=0\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q = 0En lösning, en dubbelrot
(p2)2−q<0\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q < 0Ingen reell lösning

pq-formeln i en graf

Nollställena är där parabeln skär x-axeln. Dra q uppåt tills de möts och sedan försvinner: det är de tre fallen i tabellen ovan, sedda som bild.

Graf av y = x² − 2x − 3Kurvan y = x² − 2x − 3 ritad för x mellan −6 och 6.−6−4−2246−10−5510
f
y = x² − 2x − 3
nollställen
−1, 3

När används pq-formeln?

När du har en andragradsekvation och behöver dess lösningar. Ekvationen måste först skrivas om så att den står på formen x2+px+q=0x^2 + px + q = 0, alltså med en ensam x2x^2 och en nolla i högerledet.

Uttrycket under rottecknet avgör hur många lösningar som finns. Är det positivt finns två, är det noll finns en, är det negativt finns ingen reell lösning.

Härledning av pq-formeln

pq-formeln är kvadratkomplettering, gjord en gång för alla på den allmänna ekvationen. Gör du de fem stegen nedan på en ekvation med siffror i stället för pp och qq får du samma svar, bara med mer räknande.

Flytta konstanten till högerledetx2+px=−qx^2 + px = -q
Lägg till kvadraten på halva pp i båda leden, så vänsterledet blir en jämn kvadratx2+px+(p2)2=(p2)2−qx^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q
Vänsterledet är nu kvadreringsregeln baklänges(x+p2)2=(p2)2−q\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q
Dra roten ur. Är högerledet positivt har det två kvadratrötter, en positiv och en negativx+p2=±(p2)2−qx + \frac{p}{2} = \pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}
Flytta över halva pp, och formeln står därx=−p2±(p2)2−qx = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}

Exempel

Lös x2+4x−5=0x^2 + 4x - 5 = 0.

Ekvationen står redan på rätt form, så vi kan läsa av direktp=4,q=−5p = 4, \quad q = -5
Sätt in i formelnx=−42±(42)2−(−5)x = -\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2 - (-5)}
Förenkla under rottecknetx=−2±9=−2±3x = -2 \pm \sqrt{9} = -2 \pm 3
Plusfallet och minusfallet ger var sin lösningx1=1,x2=−5x_1 = 1, \quad x_2 = -5

Svar: x=1x = 1 eller x=−5x = -5

Kontroll: Sätt in x=1x = 1 i den ursprungliga ekvationen: 12+4⋅1−5=01^2 + 4 \cdot 1 - 5 = 0. Stämmer. Samma sak för x=−5x = -5.

Öva själv

  1. Lös 2x2+10x−12=02x^2 + 10x - 12 = 0.

    Koefficienten framför x2x^2 är inte 1, så formeln går inte att använda direkt.

    Visa lösningen till uppgift 1
    Dela hela ekvationen med 2, så x2x^2 står ensamtx2+5x−6=0x^2 + 5x - 6 = 0
    Läs avp=5,q=−6p = 5, \quad q = -6
    Sätt in i formelnx=−52±(52)2−(−6)x = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 - (-6)}
    Förenkla under rottecknetx=−2,5±6,25+6=−2,5±3,5x = -2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 + 6} = -2{,}5 \pm 3{,}5

    Svar: x=1x = 1 eller x=−6x = -6

  2. Lös x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0.

    Här tar det slut innan du hunnit dra någon rot, och det är ett giltigt svar.

    Visa lösningen till uppgift 2
    Läs avp=2,q=5p = 2, \quad q = 5
    Räkna ut uttrycket under rottecknet först(22)2−5=1−5=−4\left(\frac{2}{2}\right)^2 - 5 = 1 - 5 = -4
    Det är negativt, och inget reellt tal har en negativ kvadrat−4<0-4 < 0

    Svar: Ekvationen saknar reella lösningar

  3. Lös x2+3x+1=0x^2 + 3x + 1 = 0.

    Udda pp, så halva pp blir ett bråk och svaret går inte jämnt ut.

    Visa lösningen till uppgift 3
    Läs avp=3,q=1p = 3, \quad q = 1
    Sätt in. Halva pp är 32\frac{3}{2}, inte 1x=−32±(32)2−1x = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 1}
    Förenkla under rottecknetx=−32±94−44=−32±54x = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{4}{4}} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}}
    Roten ur ett bråk är roten ur täljaren genom roten ur nämnarenx=−32±52=−3±52x = -\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}

    Svar: x=−3+52≈−0,38x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx -0{,}38 eller x=−3−52≈−2,62x = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \approx -2{,}62

Vanliga fel

  • Att glömma skriva om ekvationen till rätt form först. Står det 2x2+8x−10=02x^2 + 8x - 10 = 0 måste du dela med 2 innan du läser av pp och qq.
  • Att tappa minustecknet framför p2\frac{p}{2}.
  • Att sätta qq med fel tecken. I x2+4x−5=0x^2 + 4x - 5 = 0 är q=−5q = -5, inte 55.
  • Att missa att en ekvation är en andragradsekvation i förklädnad. x4−5x2+4=0x^4 - 5x^2 + 4 = 0 blir en andragradsekvation om du sätter t=x2t = x^2.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). pq-formeln. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/pq-formeln/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0. Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad Källa: Skolverkets formelblad Ma2Rapportera fel
Ändringar på sidan (2)

  • Förtydligat: Sidan har nu en räknare under exemplet. Den räknar med dina egna tal och visar varje steg.

  • Rättat: Sidan sa att ekvationen alltid har två lösningar. Den har högst två, och tabellen visar när.