Täthetsfunktion för normalfördelning

Täthetsfunktionen är ekvationen för själva normalfördelningskurvan, och den bestäms helt av medelvärdet och standardavvikelsen.

Kallas också normalfördelningens täthetsfunktion.

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}

f(x) = 1 / (sigma * sqrt(2*pi)) * e^(-(1/2) * ((x - my) / sigma)^2)

Finns iMa4

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 4
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik fortsättning nivå 2

Variabler

Symbol	Betydelse	Enhet
$f(x)$	Kurvans höjd vid $x$ , alltså täthet och inte sannolikhet	ett genom enheten för x
$x$	Värdet på den storhet som är normalfördelad	samma som värdena
$\mu$	Medelvärdet, som också är kurvans symmetrilinje	samma som värdena
$\sigma$	Standardavvikelsen, som styr hur bred kurvan är	samma som värdena

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Gäller när

Standardavvikelsen måste vara positiv, $\sigma > 0$ .
Sannolikheter är areor under kurvan, inte funktionsvärden: $P(a < X < b)$ är arean mellan $a$ och $b$ . Hela arean under kurvan är $1$ .
Sannolikheten för ett enskilt värde är noll, eftersom en area utan bredd är noll. Därför spelar det ingen roll om olikheten skrivs med eller utan likhetstecken.

Fall för Täthetsfunktion för normalfördelning

Om	Då
Kurvans högsta punkt, vid $x = \mu$	$f(\mu) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ , så en liten standardavvikelse ger en hög och smal kurva
Symmetri	Kurvan är spegelsymmetrisk kring $x = \mu$
Inflexionspunkter	Kurvan vänder sin böjning vid $x = \mu - \sigma$ och $x = \mu + \sigma$

Täthetsfunktion för normalfördelning i en graf

Dra gränserna och läs av arean. Den arean är sannolikheten att hamna mellan dem.

f: μ = 0, σ = 1
integral: 1

När används Täthetsfunktion för normalfördelning?

Normalfördelningskurvan ritas på formelbladen för Ma2, Ma3 och Ma4, men det är bara Ma4-bladet som också skriver ut dess ekvation. Det är skillnaden mellan att känna igen kurvan och att kunna räkna på den.

Uttrycket ser värre ut än det är. Kvoten $\frac{x - \mu}{\sigma}$ mäter hur många standardavvikelser $x$ ligger från medelvärdet, och resten av formeln skalar kurvan så att hela arean under den blir exakt $1$ . Byter du ut $\mu$ och $\sigma$ flyttas och breddas kurvan, men formen är alltid densamma.

Faktorn $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ är där just för arean. En smal kurva måste vara hög för att rymma samma area som en bred och låg.

Exempel

Längden hos en grupp är normalfördelad med medelvärdet $\mu = 170$ cm och standardavvikelsen $\sigma = 10$ cm. Hur stor är sannolikheten att en slumpvis vald person är kortare än $180$ cm?

Sannolikheten är arean under kurvan till vänster om 180

P(X < 180) = \int_{-\infty}^{180} f(x)\, dx

Den integralen går inte att räkna ut för hand, så använd räknarens normalcdf

\text{normalcdf}(-10^{99},\ 180,\ 170,\ 10)

Läs av svaret och avrunda till två decimaler

P(X < 180) = 0{,}84134\ldots \approx 0{,}84

Svar: Sannolikheten är ungefär $0{,}84$ , alltså $84\ \%$ .

Kontroll: 180 cm är precis en standardavvikelse över medelvärdet. Enligt $68$ -regeln ligger $68\ \%$ inom en standardavvikelse, alltså $34\ \%$ mellan $170$ och $180$ . Tillsammans med de $50\ \%$ som ligger under medelvärdet ger det $84\ \%$ . Stämmer.

Vanliga fel

Att läsa $f(x)$ som en sannolikhet. Funktionsvärdet är en höjd, och i exemplet ovan är $f(170) \approx 0{,}04$ trots att sannolikheten att vara kortare än $170$ cm är $50\ \%$ .
Att glömma kvadraten på $\frac{x - \mu}{\sigma}$ . Utan den blir kurvan inte symmetrisk.
Att försöka integrera för hand. Funktionen saknar primitiv funktion som går att skriva ned med de funktioner du känner, och det är därför räknaren och tabeller finns.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Täthetsfunktion för normalfördelning. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/tathetsfunktion-normalfordelning/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-26Källa: Skolverkets formelblad Ma4Rapportera fel

Ändringar på sidan (1)

2026-09-26

Förtydligat: Sista steget visade $0{,}8413$ medan svaret var $0{,}84$ utan att säga hur. Nu visar steget avrundningen till två decimaler.