de Moivres formel

Att upphöja ett komplext tal i polär form görs genom att upphöja beloppet och multiplicera argumentet med exponenten.

z^n = r^n(\cos nv + i \sin nv)

z^n = r^n * (cos(n*v) + i * sin(n*v))

Finns iMa4

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 4
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik fortsättning nivå 2

Variabler

Symbol	Betydelse	Enhet
$r$	Absolutbeloppet
$v$	Argumentet	grader eller radianer
$n$	Exponenten, ett heltal
$z$	Det komplexa talet $r(\cos v + i \sin v)$ , med beloppet $r$ och argumentet $v$

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Gäller när

$n$ är ett heltal, och är $n$ noll eller negativt måste $z \neq 0$ . För andra exponenter är vänsterledet inte entydigt: $z^{1/2}$ har två värden, de två kvadratrötterna, och högerledet ger bara den ena. Vilken beror på om argumentet skrivs $v$ eller $v + 360^{\circ}$ .

de Moivres formel i en bild

När används de Moivres formel?

de Moivres formel gör det möjligt att räkna ut höga potenser av komplexa tal utan att multiplicera ihop parenteser. Med formeln blir till exempel $(\sqrt{3} + i)^{10}$ en rad: beloppet är $2$ och argumentet $30^\circ$ , så potensen är $2^{10}(\cos 300^\circ + i \sin 300^\circ) = 512 - 512\sqrt{3}\,i$ .

Den används också baklänges, för att hitta alla $n$ rötter till ett komplext tal skilt från noll, vilket ger $n$ punkter jämnt fördelade på en cirkel.

Exempel

Beräkna $(\cos 30^{\circ} + i \sin 30^{\circ})^3$ .

Beloppet är ett, så det förblir ett

r^n = 1^3 = 1

Multiplicera argumentet med tre

3 \cdot 30^{\circ} = 90^{\circ}

Sätt in

\cos 90^{\circ} + i \sin 90^{\circ} = 0 + i

Svar: Svaret är $i$ .

Vanliga fel

Att upphöja argumentet i stället för att multiplicera det.
Att använda formeln på rektangulär form. Talet måste först skrivas i polär form.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). de Moivres formel. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/de-moivres-formel/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-10-10Källa: Skolverkets formelblad Ma4Rapportera fel

Ändringar på sidan (3)

2026-10-10

Förtydligat: Sidan har nu en bild av exemplets tal och dess potenser i det komplexa talplanet, där varje potens vrids ytterligare 30 grader.

2026-09-25

Rättat: Exemplet sa att $(1+i)^{10}$ är en mardröm i rektangulär form. Exemplet är nu $(\sqrt{3} + i)^{10}$ , som formeln ger exakt på en rad.
Förtydligat: Villkoret kräver nu $z \neq 0$ när $n$ är noll eller negativt, och förklarar varför $n$ måste vara ett heltal.