Komplexa tal

Formler för komplexa tal på gymnasiet: polär form, de Moivres formel och Eulers formel. Varje formel har variabler, exempel och vanliga fel.

Komplexa tal finns i Matematik 4. Varje formel står under den kurs där den först dyker upp.

Beteckningar i komplexa tal

Vad bokstäverna betyder i komplexa tal och vilken enhet de har. Varje betydelse länkar till formeln den är hämtad ur.

Beteckning	Betyder	Enhet
$a$	Realdelen	ingen
$b$	Imaginärdelen	ingen
$i$	Imaginära enheten	ingen
$n$	Exponenten, ett heltal	ingen
$\overline{z}$	Konjugatet	ingen
$r$	Absolutbeloppet, avståndet till origo, alltid $r \geq 0$	ingen
$r_1$	Första talets belopp	ingen
$r_2$	Andra talets belopp	ingen
$v$	Argumentet, mätt i radianer	radianer
$v$	Argumentet, vinkeln moturs från positiva reella axeln. Den är bara bestämd upp till hela varv, så $v + 360^{\circ}$ ger samma tal	grader eller radianer
$v_1$	Första talets argument	grader eller radianer
$v_2$	Andra talets argument	grader eller radianer
$z$	Det komplexa talet $r(\cos v + i \sin v)$ , med beloppet $r$ och argumentet $v$	ingen
$z$	Det komplexa talet $a + bi$ , där $a$ och $b$ är reella	ingen

Sex av dem står på formelbladet. Den återstående måste kunnas utantill. Formelblad matte 4.

Absolutbeloppet av ett komplext tal
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
de Moivres formel
$z^n = r^n(\cos nv + i \sin nv)$
Eulers formel
$e^{iv} = \cos v + i \sin v$
Imaginära enheten
$i^2 = -1$
Konjugat
$\overline{z} = a - bi$
Polär form
$z = r(\cos v + i \sin v)$
Räknelagar för komplexa tal i polär form
$z_1 z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(v_1 + v_2) + i \sin(v_1 + v_2)\right)$