Formelsamling

Polär form

I polär form beskrivs ett komplext tal av sitt avstånd till origo och sin vinkel mot positiva reella axeln.

z=r(cos⁡v+isin⁡v)z = r(\cos v + i \sin v)

z = r * (cos(v) + i * sin(v))

Finns iMa4

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025
Matematik 4
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare
Matematik fortsättning nivå 2

Variabler

SymbolBetydelseEnhet
rrAbsolutbeloppet, avståndet till origo, alltid r≥0r \geq 0
vvArgumentet, vinkeln moturs från positiva reella axeln. Den är bara bestämd upp till hela varv, så v+360∘v + 360^{\circ} ger samma talgrader eller radianer

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Polär form i en bild

Ett komplext tal i polär formDet komplexa talplanet med talet 1 + i som en punkt och en pil från origo. Pilens längd är absolutbeloppet r = √2 och dess vinkel mot den reella axeln är argumentet v = 45°.ReIm11v = 45°z = 1 + ir = √2

När används Polär form?

Rektangulär form, a+bia + bi, är bekväm för addition eftersom komponenterna adderas var för sig. Polär form är bekväm för multiplikation, eftersom beloppen då multipliceras och argumenten adderas.

Det är huvudskälet till att båda formerna används. Välj den som passar räkneoperationen, och räkna om när du byter.

Exempel

Skriv z=1+iz = 1 + i i polär form.

Räkna ut absolutbeloppetr=12+12=2r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
Argumentet fås ur tangenstan⁡v=11=1\tan v = \frac{1}{1} = 1
Punkten ligger i första kvadrantenv=45∘v = 45^{\circ}

Svar: z=2(cos⁡45∘+isin⁡45∘)z = \sqrt{2}(\cos 45^{\circ} + i \sin 45^{\circ}).

Vanliga fel

  • Att glömma kontrollera kvadranten. Tangens ger samma värde för vinklar som skiljer sig med 180 grader.
  • Att skriva rcos⁡v+isin⁡vr \cos v + i \sin v. Båda termerna i parentesen ska multipliceras med rr.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Polär form. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/polar-form/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0. Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad Källa: Skolverkets formelblad Ma4Rapportera fel
Ändringar på sidan (2)

  • Förtydligat: Sidan har nu en bild av exemplets tal i det komplexa talplanet, med absolutbeloppet och argumentet inritade.

  • Förtydligat: Beloppet rr är aldrig negativt, och argumentet är bara bestämt upp till hela varv.