Formelsamling

Rotationsvolym

Roterar du kurvan y=f(x)y = f(x) kring x-axeln blir volymen π∫abf(x)2 dx\pi \int_a^b f(x)^2\,dx.

V=π∫ab(f(x))2dxV = \pi \int_a^b \left(f(x)\right)^2 dx
Finns iMa4

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025
Matematik 4
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare
Matematik fortsättning nivå 2

Variabler

SymbolBetydelseEnhet
VVRotationskroppens volymvolymenheter
f(x)f(x)Kurvan som roteras
aaUndre gränsen
bbÖvre gränsen

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Fall för Rotationsvolym

OmDå
Rotation kring x-axelnV=π∫abf(x)2 dxV = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx, med gränserna i xx
Rotation kring y-axelnV=π∫cdx2 dyV = \pi \int_c^d x^2\,dy, där kurvan först skrivs som x=g(y)x = g(y), gränserna tas i yy och området ligger mellan kurvan och y-axeln

När används Rotationsvolym?

Tänk dig kroppen skivad i tunna cirkulära skivor vinkelrätt mot x-axeln. Varje skiva är en cirkel med radien f(x)f(x) och tjockleken dxdx, alltså volymen πf(x)2dx\pi f(x)^2 dx. Integralen summerar dem.

Kontrollen i exemplet är värd att göra om: roterar en rät linje genom origo, från x=0x = 0, får du en kon, och då finns ett känt svar att jämföra med.

Exempel

Beräkna volymen när y=xy = x roterar kring x-axeln mellan x=0x = 0 och x=1x = 1.

Sätt in i formelnV=π∫01x2 dxV = \pi \int_0^1 x^2\,dx
Primitiv funktion=π[x33]01= \pi \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1
Sätt in gränserna=π⋅13= \pi \cdot \frac{1}{3}

Svar: Volymen är π3\frac{\pi}{3} volymenheter.

Kontroll: Kroppen är en kon med radien 1 och höjden 1, och konens volym är πr2h3\frac{\pi r^2 h}{3}. Stämmer.

Vanliga fel

  • Att glömma kvadrera funktionen. Varje tunn skiva är en cirkel med arean πf(x)2\pi f(x)^2.
  • Att glömma faktorn π\pi framför integralen.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Rotationsvolym. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/rotationsvolym/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0. Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad Källa: Skolverkets formelblad Ma4Rapportera fel
Ändringar på sidan (2)

  • Förtydligat: Fallet med rotation kring y-axeln säger nu att området som roteras ligger mellan kurvan och y-axeln.
  • Förtydligat: Sidan visar nu formeln både för rotation kring x-axeln och kring y-axeln.