Formelsamling

Faktorsatsen

Ett polynom f(x)f(x) har nollstället aa precis när (x−a)(x-a) är en faktor i polynomet.

f(a)=0  ⟺  (x−a) är en faktor i f(x)f(a) = 0 \iff (x - a) \text{ är en faktor i } f(x)
Finns iMa4

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025
Matematik 4
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare
Matematik fortsättning nivå 2

Variabler

SymbolBetydelse
f(x)f(x)Polynomet
aaEtt nollställe till polynomet

När används Faktorsatsen?

Faktorsatsen binder ihop två saker som ser olika ut: var en graf skär eller tangerar x-axeln, och hur uttrycket går att skriva som en produkt. Varje nollställe svarar mot minst en faktor (x−a)(x - a). Ett dubbelt nollställe ger faktorn två gånger, som i exemplet nedan där x=2x = 2 ger (x−2)2(x - 2)^2.

I praktiken används den baklänges. Har polynomet heltalskoefficienter och koefficienten 11 framför högsta potensen, gissa ett nollställe bland delarna till konstanttermen. Kontrollera med insättning, och dela sedan bort faktorn med polynomdivision eller genom att jämföra koefficienter. Kvar blir ett polynom av lägre grad.

Exempel

Visa att x=2x = 2 är ett nollställe till f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 och faktorisera ut motsvarande faktor.

Sätt in x lika med 2f(2)=8−12+4=0f(2) = 8 - 12 + 4 = 0
Faktorsatsen ger att x minus 2 är en faktorf(x)=(x−2)⋅g(x)f(x) = (x - 2) \cdot g(x)
Dela bort faktorn. Polynomdivision ger kvoten, eller ansatsen (x−2)(x2+px+q)(x - 2)(x^2 + px + q) där jämförelse av koefficienterna ger p=−1p = -1 och q=−2q = -2g(x)=x2−x−2g(x) = x^2 - x - 2
Faktorisera även den, till exempel med pq-formeln, och lägg märke till att x=2x = 2 dyker upp igenx2−x−2=(x−2)(x+1)x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Svar: f(x)=(x−2)2(x+1)f(x) = (x-2)^2(x+1), så x=2x = 2 är ett dubbelt nollställe.

Kontroll: Utveckla, (x−2)2(x+1)=(x2−4x+4)(x+1)=x3−3x2+4(x-2)^2(x+1) = (x^2 - 4x + 4)(x + 1) = x^3 - 3x^2 + 4. Stämmer.

Vanliga fel

  • Att kasta om tecknet. Nollstället a=2a = 2 ger faktorn (x−2)(x - 2), inte (x+2)(x + 2).
  • Att tro att satsen hittar nollställena åt dig. Den säger bara vad ett känt nollställe betyder.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Faktorsatsen. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/faktorsatsen/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0. Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel
Ändringar på sidan (3)

  • Rättat: Sidan ligger inte längre under Ma3, eftersom Skolverkets centrala innehåll inte tar upp den där.
  • Rättat: Sidan sa utan villkor att ett nollställe gissas bland delarna till konstanttermen. Det fungerar när koefficienterna är heltal och högsta koefficienten är 11.
  • Förtydligat: Ett dubbelt nollställe tangerar x-axeln i stället för att skära den.