Formelsamling

Eulers formel

Eulers formel skriver om exponentialfunktionen med imaginär exponent som cosinus plus i gånger sinus.

eiv=cos⁡v+isin⁡ve^{iv} = \cos v + i \sin v

e^(i*v) = cos(v) + i * sin(v)

Finns iMa4

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Ingen kurs eller nivå. Inget centralt innehåll i Gy11 eller Gy25 tar upp den. Den står ändå på Skolverkets formelblad för Matematik 4.

Variabler

SymbolBetydelseEnhet
vvArgumentet, mätt i radianerradianer

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Gäller när

  • Vinkeln vv ska vara i radianer.

Eulers formel i en bild

Talet e upphöjt till iv är just den här punkten: cosinus v på realaxeln och sinus v på imaginäraxeln.

Enhetscirkeln med en vridbar vinkelEn cirkel med radien ett. En radie pekar ut i vinkeln v från positiva x-axeln. Punktens x-värde är cosinus v och dess y-värde är sinus v.1−11−1v
v
90°
rad
π/2
cos v
0
sin v
1
tan v
Ej def.

Exakta värden

När används Eulers formel?

Eulers formel är den kortaste vägen mellan exponentialfunktionen och trigonometrin, två områden som annars ser helt orelaterade ut. Den polära formen r(cos⁡v+isin⁡v)r(\cos v + i \sin v) blir med den helt enkelt reivre^{iv}.

Leta inte efter formeln som en egen rad på formelbladet. Under Representation listar bladet formerna under varandra, bland dem z=r(cos⁡v+isin⁡v)z = r(\cos v + i \sin v) och z=reivz = re^{iv}, och formeln är det som står mellan dem: dela båda med rr.

Specialfallet v=πv = \pi ger Eulers identitet, eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0, som binder ihop fem av matematikens viktigaste tal i en enda likhet.

Exempel

Visa vad Eulers formel ger för v=πv = \pi.

Sätt in pi i formelneiπ=cos⁡π+isin⁡πe^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi
Cosinus för pi är minus ett och sinus är noll=−1+i⋅0= -1 + i \cdot 0
Förenkla=−1= -1

Svar: eiπ=−1e^{i\pi} = -1, alltså eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0.

Vanliga fel

  • Att räkna i grader. Formeln gäller bara när vinkeln är i radianer.
  • Att tro att eive^{iv} i allmänhet är ett reellt tal. Det har beloppet 11 och ligger på enhetscirkeln i det komplexa talplanet. Reellt blir det bara när vv är en multipel av π\pi, som i exemplet ovan.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Eulers formel. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/eulers-formel/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0. Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad Källa: Skolverkets formelblad Ma4Rapportera fel
Ändringar på sidan (2)

  • Rättat: Sidan sa att bladet ställer polär och exponentiell form bredvid varandra. De står under varandra.
  • Rättat: Vanligt fel hänvisade till exemplet nedan. Exemplet står ovanför.