Formlerna för halva vinkeln

Halva vinkelns sinus och cosinus går att skriva med bara cosinus för hela vinkeln, vilket ger exakta värden för vinklar som annars kräver räknare.

\sin^2 \frac{v}{2} = \frac{1 - \cos v}{2}

(sin(v/2))^2 = (1 - cos v) / 2

Finns iMa4

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 4
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik fortsättning nivå 2

Variabler

Symbol	Betydelse	Enhet
$v$	Hela vinkeln, den vars cosinus är känd	grader eller radianer
$\frac{v}{2}$	Halva vinkeln, den som söks	grader eller radianer

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Gäller när

Formlerna ger kvadraten. Roten ur ger beloppet, och tecknet bestäms av vilken kvadrant $\frac{v}{2}$ ligger i.

Fall för Formlerna för halva vinkeln

Om	Då
Cosinus för halva vinkeln söks	$\cos^2 \frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}$ , alltså med plustecken i täljaren
$\frac{v}{2}$ ligger i första eller andra kvadranten	Sinus är positiv, så den positiva roten gäller
$\frac{v}{2}$ ligger i tredje eller fjärde kvadranten	Sinus är negativ, så den negativa roten gäller
$\frac{v}{2}$ ligger i första eller fjärde kvadranten	Cosinus är positiv, så den positiva roten gäller
$\frac{v}{2}$ ligger i andra eller tredje kvadranten	Cosinus är negativ, så den negativa roten gäller

Formlerna för halva vinkeln i en bild

Halva vinkeln ligger mitt emellan 0 och v på cirkeln. Dra dit och jämför sinusvärdena.

v: 120°
rad: 2π/3
cos v: −1/2
sin v: √3/2
tan v: −√3

Exakta värden

Hur räknar man ut sinus för halva vinkeln?

Sätt in cosinus för hela vinkeln i $\sin^2 \frac{v}{2} = \frac{1 - \cos v}{2}$ , ta roten ur och välj tecken efter kvadranten. Formlerna behövs när ett exakt värde söks för en vinkel som inte står i tabellen. 15, 22,5 och 75 grader är alla halva vinklar av tabellvärden, och de går därför att skriva med rottecken i stället för decimaler.

Formlerna är dubbla vinkelns formler baklänges. Skriv $\cos 2u = 1 - 2\sin^2 u$ , byt $u$ mot $\frac{v}{2}$ och lös ut, så står den här formeln där.

Exempel

Bestäm $\sin 15^\circ$ exakt.

15 grader är halva 30, och cosinus för 30 grader är känd exakt

\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2}

Sätt in det exakta värdet

\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}

Förenkla genom att förlänga med 2

\sin^2 15^\circ = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}

15 grader ligger i första kvadranten, så den positiva roten gäller

\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}

Svar: $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \approx 0{,}2588$

Kontroll: Räknaren ger $\sin 15^\circ \approx 0{,}2588$ , och $\sqrt{2 - 1{,}7321} = 0{,}5176$ delat med 2 är samma tal.

Vanliga fel

Att ta roten ur och alltid välja plus. Tecknet följer av kvadranten, inte av formeln.
Att förväxla vilken formel som har plus. Cosinus har plus i täljaren, sinus har minus. Kontrollera med $v = 0$ , där cosinus för halva vinkeln ska bli ett.
Att tro att formlerna står på formelbladet. Ma4-bladet har additionsformlerna och dubbla vinkeln, men inte halva.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Formlerna för halva vinkeln. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/halva-vinkeln/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-25Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (1)

2026-09-25

Förtydligat: Sidan visar nu hur kvadranten för $\frac{v}{2}$ avgör tecknet framför roten.