Sammanslagning till en sinusterm

Två trigonometriska termer med samma vinkel slås ihop till en enda sinusterm, med en ny amplitud och en fasförskjutning.

Kallas också Hjälpvinkelmetoden.

a \sin x + b \cos x = c \sin(x + v)

a sin x + b cos x = c sin(x + v)

Finns iMa4

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 4
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik fortsättning nivå 2

Variabler

Symbol	Betydelse	Enhet
$a$	Koefficienten framför $\sin x$
$b$	Koefficienten framför $\cos x$
$x$	Vinkeln, samma i båda termerna	grader eller radianer
$c$	Den sammanslagna termens amplitud, $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
$v$	Fasvinkeln, med $\tan v = \frac{b}{a}$ och kvadranten given av tecknen på $a$ och $b$ . Kurvan är förskjuten $v$ åt vänster	grader eller radianer

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Gäller när

Båda termerna har samma vinkel $x$ . Är vinklarna olika går de inte att slå ihop så här.
$a$ och $b$ är inte båda noll.
Är $a = 0$ finns ingen kvot $\frac{b}{a}$ att ta arcustangens av. Då är $c = |b|$ och $v = 90^\circ$ när $b > 0$ , $v = -90^\circ$ när $b < 0$ , eftersom $b \cos x = b \sin(x + 90^\circ)$ .
$v$ ska ligga i den kvadrant som tecknen på $a$ och $b$ pekar ut. Räknarens arcustangens ger alltid ett svar mellan $-90^\circ$ och $90^\circ$ , vilket är fel kvadrant så snart $a$ är negativt.

Sammanslagning till en sinusterm i en graf

En summa av sinus och cosinus av samma vinkel är alltid en enda sinuskurva, med ny amplitud och ny förskjutning.

f: y = 1,4 sin(x + 0,79)

Hur skriver man a sin x plus b cos x som en sinusterm?

När en svängning består av två delar med samma frekvens men olika fas är summan av dem alltid en enda svängning, eller noll om de tar ut varandra. Den här omskrivningen är vad som visar det. Den används också för att lösa trigonometriska ekvationer där både sinus och cosinus av samma vinkel förekommer: efter sammanslagningen finns bara en trigonometrisk funktion kvar att lösa ut.

Formelbladet skriver både amplituden och fasvinkeln, men säger inget om kvadranten. Det är där det är lätt att göra fel.

Exempel

Skriv $3 \sin x + 4 \cos x$ som en enda sinusterm.

Amplituden är roten ur kvadratsumman

c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5

Fasvinkeln ges av kvoten mellan koefficienterna

\tan v = \frac{4}{3}

Både

a

och

b

är positiva, så

v

ligger i första kvadranten och arcustangens ger rätt svar direkt

v = \arctan\frac{4}{3} \approx 53{,}13^\circ

Svar: $3 \sin x + 4 \cos x = 5 \sin(x + v)$ med $v = \arctan\frac{4}{3} \approx 53{,}13^\circ$ .

Kontroll: Eftersom $\cos v = \frac{3}{5}$ och $\sin v = \frac{4}{5}$ ger additionsformeln $5\sin(x + v) = 5(\sin x \cdot 0{,}6 + \cos x \cdot 0{,}8) = 3 \sin x + 4 \cos x$ .

Vanliga fel

Att ta arcustangens rakt av när $a$ är negativ. Svaret hamnar då i fel kvadrant och kurvan blir spegelvänd. Lägg till $180^\circ$ eller $\pi$ .
Att tro att amplituden är $a + b$ . Den är $\sqrt{a^2 + b^2}$ , som aldrig är större än $|a| + |b|$ och är strikt mindre så snart varken $a$ eller $b$ är noll. Med olika tecken på $a$ och $b$ är amplituden dessutom större än summan $a + b$ .
Att blanda enheter. Är $x$ i radianer måste $v$ också vara det, annars blir kurvan förskjuten med fel belopp.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Sammanslagning till en sinusterm. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/sammanslagning-av-sinus-och-cosinus/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-25Källa: Skolverkets formelblad Ma4Rapportera fel

Ändringar på sidan (3)

2026-09-25

Rättat: Sidan sa att två svängningar med samma frekvens alltid blir en enda svängning. De kan också ta ut varandra och bli noll.
Rättat: Exemplets svar skrev likhet med en avrundad vinkel. Nu står $v = \arctan\frac{4}{3} \approx 53{,}13^\circ$ .
Förtydligat: Bildtexten gäller nu sinus och cosinus av samma vinkel.