Asymptoter

En asymptot är en rät linje som kurvan kommer godtyckligt nära långt ut. En vågrät asymptot $y = k$ finns när $f(x)$ går mot $k$ då $x$ går mot plus eller minus oändligheten, och den får korsas. En lodrät asymptot $x = a$ finns när $f(x)$ växer obegränsat, uppåt eller nedåt, då $x$ går mot $a$ . En sned asymptot $y = px + q$ finns när $f(x) - (px + q)$ går mot noll då $x$ går mot plus eller minus oändligheten.

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = k

Finns iMa4

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 4
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik fortsättning nivå 2

Variabler

Symbol	Betydelse
$k$	Det värde funktionen närmar sig

Fall för Asymptoter

Om	Då
Nämnaren är noll för $x = a$ och täljaren inte noll där	Lodrät asymptot i $x = a$
Funktionen närmar sig $k$ när $x$ går mot plus eller minus oändligheten	Vågrät asymptot $y = k$ . Den kan gälla åt ett håll eller åt båda, och hållen kan ha olika asymptoter
$f(x) - (px + q)$ går mot noll när $x$ går mot plus eller minus oändligheten, med $p \neq 0$	Sned asymptot $y = px + q$

Asymptoter i en graf

Kurvan y = k + c/x kommer allt närmare linjen y = k ju längre ut du går. Det är vad en asymptot är.

f: y = 2 + 1/x

När används Asymptoter?

Asymptoter beskriver hur en funktion beter sig långt ut, eller nära en punkt där den inte är definierad. De hjälper när en graf ska skissas, redan innan man räknar ut några punkter.

Lodräta asymptoter kommer nästan alltid från en nämnare som blir noll. Vågräta asymptoter kommer från vad som händer när $x$ går mot plus eller minus oändligheten. De två hållen behöver inte ge samma svar: exponentialfunktionen $y = 2^x$ har asymptoten $y = 0$ bara åt vänster.

Sneda asymptoter tar Skolverket upp som linjära asymptoter i Matematik 4 och i Gy25:s Matematik fortsättning nivå 2. En rationell funktion har en sned asymptot när täljarens grad är en högre än nämnarens. Polynomdivision skriver då funktionen som en rät linje plus en rest som går mot noll. Till exempel är $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x} = x + \dfrac{1}{x}$ . Termen $\dfrac{1}{x}$ går mot noll åt båda hållen, så $y = x$ är en sned asymptot. Nämnaren är noll i $x = 0$ men inte täljaren, så $x = 0$ är en lodrät asymptot.

Exempel

Bestäm asymptoterna till $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ .

Nämnaren är noll när x är 2

x - 2 = 0 \implies x = 2

När x växer går kvoten mot noll

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x-2} = 0

När x går mot minus oändligheten går kvoten också mot noll

\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x-2} = 0

Svar: Lodrät asymptot $x = 2$ och vågrät asymptot $y = 0$ .

Vanliga fel

Att tro att kurvan aldrig får korsa en asymptot. En vågrät asymptot får korsas, det är bara på lång sikt den gäller.
Att leta lodräta asymptoter där nämnaren och täljaren är noll samtidigt. Då kan det vara ett hål i stället.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Asymptoter. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/asymptot/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-26Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (6)

2026-09-26

Förtydligat: Sidan tog bara upp lodräta och vågräta asymptoter. Nu tar den också upp sneda asymptoter och hur polynomdivision hittar dem.

2026-09-25

Förtydligat: Exemplet undersökte bara vad som händer när $x$ växer. Det visar nu också att kvoten går mot noll när $x$ går mot minus oändligheten.
Rättat: Sidan ligger inte längre under Ma3, eftersom Skolverkets centrala innehåll inte tar upp den där.
Rättat: Sidan sa att kurvan aldrig når asymptoten. En kurva får korsa en vågrät asymptot.
Rättat: Definitionen var så vid att ett hål i grafen hade räknats som en asymptot. Nu skiljer sidan på vågräta och lodräta asymptoter.
Förtydligat: En vågrät asymptot kan gälla åt ett håll, som $y = 0$ för $y = 2^x$ .