Gränsvärde

Gränsvärdet är det värde funktionen närmar sig när variabeln närmar sig ett tal, oavsett om funktionen är definierad i just den punkten.

\lim_{x \to a} f(x) = L

lim f(x) = L när x går mot a

Finns iMa3

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 3b, Matematik 3c
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik fortsättning nivå 1b, Matematik fortsättning nivå 1c

Variabler

Symbol	Betydelse
$x$	Variabeln som närmar sig ett värde
$a$	Det värde $x$ närmar sig. Får vara ett tal eller oändligheten
$L$	Gränsvärdet, alltså det värde funktionen närmar sig

Gäller när

Funktionen behöver inte vara definierad i $x = a$ . Gränsvärdet handlar om vägen dit, inte om punkten själv.
När $x$ går mot ett tal finns gränsvärdet bara om funktionen närmar sig samma värde från båda hållen.

Fall för Gränsvärde

Om	Då
Insättning ger ett tal, och grafen hänger ihop där	Det talet är gränsvärdet
Insättning ger noll delat med noll	Faktorisera och förkorta bort den gemensamma faktorn, sätt sedan in igen
$x$ går mot oändligheten i en kvot av polynom	Dividera täljare och nämnare med den högsta potensen av $x$

Gränsvärde i en graf

När x växer närmar sig funktionsvärdet L. Det värdet är gränsvärdet, även om det aldrig nås.

f: y = 1/x

Vad betyder gränsvärde?

Ett gränsvärde är det tal funktionsvärdet närmar sig när $x$ närmar sig $a$ , utan att $x$ behöver vara lika med $a$ . Det behövs när en funktion ska undersökas i en punkt där den inte går att räkna ut direkt, och det är hela grunden för derivatan, som är gränsvärdet av en kvot där både täljare och nämnare går mot noll.

Gränsvärden mot oändligheten används i stället för att beskriva hur en funktion beter sig långt ut. Blir gränsvärdet ett tal $k$ är $y = k$ en vågrät asymptot.

Exempel

Bestäm $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Insättning ger noll delat med noll, så uttrycket måste skrivas om först

\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}

Täljaren är en differens av två kvadrater och faktoriseras med konjugatregeln

\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}

Förkorta bort faktorn, vilket är tillåtet eftersom

x

aldrig är exakt 2

= x + 2

Sätt in värdet i det förkortade uttrycket

\lim_{x \to 2} (x + 2) = 4

Svar: Gränsvärdet är $4$ .

Kontroll: Sätt in $x = 2{,}001$ och $x = 1{,}999$ i det ursprungliga uttrycket. De ger $4{,}001$ och $3{,}999$ , alltså värden nära 4 från båda hållen.

Vanliga fel

Att skriva att svaret är noll delat med noll. Det är inget svar utan ett tecken på att uttrycket måste skrivas om.
Att tro att funktionen måste ha ett värde i punkten. Funktionen ovan saknar värde i $x = 2$ men har gränsvärdet 4 där.
Att förkorta bort en faktor och glömma att den ursprungliga funktionen fortfarande har ett hål i grafen.

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Gränsvärde. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/gransvarde/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-25Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (2)

2026-09-25

Förtydligat: Sidan sa att ett gränsvärde mot oändligheten är samma sak som en vågrät asymptot. Det gäller när gränsvärdet är ett tal. Kontrollen i exemplet närmar sig nu 2 från båda hållen.
Förtydligat: Sidan förklarar nu vad ett gränsvärde är, och att kravet på samma värde från båda hållen gäller när $x$ går mot ett tal.