Formelsamling

Derivatans definition

Derivatan i en punkt är gränsvärdet av ändringskvoten när steget hh krymper mot noll.

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
Finns iMa3

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025
Matematik 3b, Matematik 3c
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare
Matematik fortsättning nivå 1b, Matematik fortsättning nivå 1c

Variabler

SymbolBetydelse
f′(a)f'(a)Derivatan i punkten aa, alltså kurvans lutning där
aaPunkten där lutningen söks
hhSteget i x-led, som får gå mot noll

Derivatans definition i en graf

Reglagen a, b och c formar kurvan. Reglaget a är alltså inte punkten a i formeln. Dra h mot noll. Sekanten genom de två punkterna går över i tangenten, och lutningen blir derivatan.

Graf av y = 0,5x² − 2Kurvan y = 0,5x² − 2 ritad för x mellan −5 och 5.−4−224−551015
f
y = 0,5x² − 2
lutning
0,85

När används Derivatans definition?

Definitionen säger vad derivatan är, medan deriveringsreglerna säger hur man räknar ut den snabbt. Ändringskvoten f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h)-f(a)}{h} är lutningen på en sekant mellan två punkter på kurvan. Låter du den andra punkten glida närmare den första blir sekanten till slut en tangent.

Formelbladet skriver definitionen på två sätt på samma rad. Det andra är f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}, samma sak med x=a+hx = a + h.

Att derivera med definitionen visar att du förstår var reglerna kommer ifrån.

Exempel

Använd definitionen för att derivera f(x)=x2f(x) = x^2 i punkten aa.

Sätt in i definitionen(a+h)2−a2h\frac{(a+h)^2 - a^2}{h}
Utveckla kvadraten=a2+2ah+h2−a2h= \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h}
Förenkla täljaren och förkorta med h=2ah+h2h=2a+h= \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h
Låt h gå mot nollf′(a)=2af'(a) = 2a

Svar: Derivatan av x2x^2 är 2x2x.

Vanliga fel

  • Att sätta h=0h = 0 direkt. Då blir kvoten noll genom noll, och det är just därför gränsvärdet behövs.
  • Att förkorta med hh innan täljaren är förenklad. Förkortningen går bara när hh finns i varje term.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Derivatans definition. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/derivatans-definition/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0. Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad Källa: Skolverkets formelblad Ma3Rapportera fel
Ändringar på sidan (2)

  • Rättat: Sidan påstod att nationella prov ofta frågar efter derivering med definitionen. Det finns inget belägg för det, och meningen är borta.
  • Förtydligat: Sidan visar nu formelbladets andra skrivsätt, med x→ax \to a.