Derivatan av e^x

Funktionen $e^x$ är sin egen derivata, och det är en stor del av varför talet $e$ är intressant.

f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x

Finns iMa3

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 3b, Matematik 3c
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik fortsättning nivå 1b, Matematik fortsättning nivå 1c

Variabler

Symbol	Betydelse
$e$	Basen för den naturliga exponentialfunktionen, cirka $2{,}718$
$k$	Konstanten i exponenten
$a$	Basen i en annan exponentialfunktion, $a > 0$

Fall för Derivatan av e^x

Om	Då
$f(x) = e^{kx}$	$f'(x) = k e^{kx}$
$f(x) = a^x$ med $a > 0$	$f'(x) = a^x \ln a$

Derivatan av e^x i en graf

Dra x och jämför tangentens lutning med kurvans höjd. De är lika stora överallt, vilket är hela poängen.

f: y = 2,72^x
k: 1

När används Derivatan av e^x?

Att $e^x$ är sin egen derivata är ingen tillfällighet. Det är ett av sätten att definiera $e$ . Alla exponentialfunktioner $a^x$ har en derivata som är proportionell mot funktionen själv, och $e$ är precis det tal som gör proportionalitetskonstanten till ett.

Det är därför $e$ dyker upp i allt som växer eller avtar i takt med sin egen storlek: ränta, radioaktivt sönderfall, avsvalning.

Exempel

Derivera $f(x) = 4e^{3x}$ .

Konstanten fyra följer med

4 \cdot \frac{d}{dx} e^{3x}

Inre derivatan av

3x

är

3

= 4 \cdot 3e^{3x}

Förenkla

= 12e^{3x}

Svar: $f'(x) = 12e^{3x}$ .

Vanliga fel

Att använda potensregeln. $e^x$ är inte $x$ upphöjt till något, så exponenten flyttas aldrig ned.
Att glömma inre derivatan vid $e^{kx}$ . Utan den saknas faktorn $k$ .

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Derivatan av e^x. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/derivatan-av-e-x/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-25Källa: Skolverkets formelblad Ma3Rapportera fel

Ändringar på sidan (2)

2026-09-25

Rättat: Sidan sa att egenskapen är hela skälet till att talet $e$ finns, och att den är definitionen av $e$ . Den är ett av flera likvärdiga sätt att definiera $e$ .
Förtydligat: Basen $a$ i $a^x$ måste vara positiv.