Formelsamling

Extrempunkter och teckentabell

En extrempunkt är en punkt där kurvan vänder. Är funktionen deriverbar där är derivatan noll, så du börjar med att lösa f′(x)=0f'(x) = 0.

f′(x)=0f'(x) = 0
Finns iMa3

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025
Matematik 3b, Matematik 3c
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare
Matematik fortsättning nivå 1b, Matematik fortsättning nivå 1c

Variabler

SymbolBetydelse
f′(x)f'(x)Derivatan, kurvans lutning

Fall för Extrempunkter och teckentabell

OmDå
Derivatan går från positiv till negativMaximipunkt
Derivatan går från negativ till positivMinimipunkt
Derivatan är noll i punkten och har samma tecken på båda sidorTerrasspunkt, ingen extrempunkt

Extrempunkter och teckentabell i en graf

Dra x tills tangenten blir vågrät. Där är derivatan noll, och där ligger extrempunkten.

Graf av y = −x² + 2x + 2Kurvan y = −x² + 2x + 2 ritad för x mellan −5 och 6.−4−2246−40−30−20−1010
f
y = −x² + 2x + 2
k
1

När används Extrempunkter och teckentabell?

I en punkt där en deriverbar kurva vänder är tangenten vågrät, alltså är derivatan noll där. Det omvända gäller däremot inte: derivatan kan vara noll utan att kurvan vänder, och då har man en terrasspunkt.

Därför räcker det inte att lösa f′(x)=0f'(x) = 0. Man måste också undersöka hur derivatans tecken ändras runt punkten, antingen med en teckentabell eller med andraderivatan.

Två fall till. En extrempunkt kan ligga där derivatan saknas, som spetsen på f(x)=∣x∣f(x) = |x| i origo. Och i ett slutet intervall kan största eller minsta värdet ligga i en ändpunkt, där derivatan inte behöver vara noll. Undersök därför nollställena till f′f', punkter där f′f' saknas, och ändpunkterna.

Exempel

Bestäm extrempunkterna till f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x.

Deriveraf′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3
Sätt derivatan lika med noll3x2−3=0  ⟹  x2=13x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1
Lös ut xx=1ellerx=−1x = 1 \quad \text{eller} \quad x = -1
Undersök derivatans tecken på var sida om nollställenaf′(−2)=9>0,f′(0)=−3<0,f′(2)=9>0f'(-2) = 9 > 0, \quad f'(0) = -3 < 0, \quad f'(2) = 9 > 0
Räkna ut funktionsvärdena i nollställenaf(−1)=2,f(1)=−2f(-1) = 2, \quad f(1) = -2
Ställ upp teckentabellen, med derivatans tecken och funktionens riktningx−2−1012f′(x)+0−0+f(x)↗2↘−2↗\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow \end{array}
Derivatan går från plus till minus vid x=−1x = -1 och från minus till plus vid x=1x = 1x=−1 maximum,x=1 minimumx = -1 \text{ maximum}, \quad x = 1 \text{ minimum}

Svar: Maximipunkt i (−1,2)(-1, 2) och minimipunkt i (1,−2)(1, -2).

Vanliga fel

  • Att svara med x-värdet och kalla det punkten. En punkt behöver både x och y.
  • Att anta att derivatan noll alltid betyder max eller min. Den kan också vara en terrasspunkt, som x3x^3 i origo.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Extrempunkter och teckentabell. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/extrempunkter/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0. Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel
Ändringar på sidan (2)

  • Rättat: Sidan sa att derivatan alltid är noll i en extrempunkt. Det gäller där funktionen är deriverbar. En extrempunkt kan också ligga i en spets eller i en ändpunkt.
  • Förtydligat: Exemplet har nu en teckentabell, och terrasspunkten kräver att derivatan är noll i punkten.