Area mellan kurvor

Arean mellan två kurvor är integralen av skillnaden mellan den övre och den undre funktionen.

A = \int_a^b \left(f(x) - g(x)\right)dx

Finns iMa3

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 3b, Matematik 3c
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik fortsättning nivå 1b, Matematik fortsättning nivå 1c

Variabler

Symbol	Betydelse	Enhet
$A$	Arean mellan kurvorna	areaenheter
$f(x)$	Den övre kurvan
$g(x)$	Den undre kurvan
$a, b$	Integrationsgränserna, oftast kurvornas skärningspunkter

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Gäller när

$f(x) \geq g(x)$ i hela intervallet, annars måste det delas upp.

Area mellan kurvor i en graf

Figuren visar specialfallet g(x) = 0, arean mellan kurvan och x-axeln. Dra gränserna a och b, de två sista reglagen, och se arean ändras. Under x-axeln blir integralen negativ, och då är värdet inte längre arean.

f: y = −0,4x² + 4
integral: 15,83

När används Area mellan kurvor?

En integral mäter en area med tecken. Ligger kurvan över x-axeln är bidraget positivt, under är det negativt. Det är därför en area alltid räknas som övre minus undre, aldrig tvärtom.

Första steget är nästan alltid att skissa kurvorna och hitta skärningspunkterna, eftersom de ger integrationsgränserna.

Exempel

Beräkna arean mellan $y = x$ och $y = x^2$ från $x = 0$ till $x = 1$ .

I intervallet ligger linjen över parabeln

f(x) = x, \quad g(x) = x^2

Integrera skillnaden

\int_0^1 (x - x^2)\,dx

Primitiv funktion

\left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1

Sätt in gränserna

\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

Svar: Arean är $\frac{1}{6}$ areaenheter.

Vanliga fel

Att glömma vilken kurva som ligger överst. Byter de plats i intervallet måste det delas upp vid skärningspunkten.
Att tro att en integral alltid är en area. Ligger kurvan under x-axeln blir integralen negativ. Mellan två kurvor spelar x-axeln däremot ingen roll: ligger $f$ över $g$ i hela intervallet är integralen av $f - g$ arean, även om båda kurvorna ligger under axeln.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Area mellan kurvor. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/area-under-kurva/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-25Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (3)

2026-09-25

Rättat: Figurens avläsning hette area men visade integralen, som blir negativ under x-axeln. Den heter nu integral, och gränsreglagen står under en egen rubrik.
Rättat: Bildtexten sa att arean räknas negativt under x-axeln. En area är aldrig negativ. Det är integralen som blir negativ.
Förtydligat: Mellan två kurvor spelar x-axeln ingen roll så länge $f$ ligger över $g$ .