Formelsamling

Integralkalkylens huvudsats

En bestämd integral beräknas genom att sätta in gränserna i en primitiv funktion och ta skillnaden.

Kallas också integralkalkylens fundamentalsats.

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
Finns iMa3

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025
Matematik 3b, Matematik 3c
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare
Matematik fortsättning nivå 1b, Matematik fortsättning nivå 1c

Variabler

SymbolBetydelse
aaUndre integrationsgränsen
bbÖvre integrationsgränsen
FFEn primitiv funktion till ff

Integralkalkylens huvudsats i en graf

Dra gränserna a och b, under rubriken Gränser. Integralen mellan dem är skillnaden mellan primitiva funktionens värden i ändpunkterna.

Graf av y = 0,3x² + 1Kurvan y = 0,3x² + 1 ritad för x mellan −4 och 5.−4−224246810
f
y = 0,3x² + 1
integral
7,19

När används Integralkalkylens huvudsats?

Huvudsatsen binder ihop två saker som ser helt olika ut: arean under en kurva och derivering baklänges.

I praktiken betyder den att du slipper summera rektanglar när du hittar en primitiv funktion. Då räcker det att räkna ut två värden.

På formelbladet heter satsen integralkalkylens fundamentalsats, och där står den med hakparentes: ∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a). Hakparentesen betyder att gränserna sätts in i det som står innanför och att värdet i undre gränsen dras från värdet i övre.

Exempel

Beräkna ∫023x2 dx\int_0^2 3x^2\,dx.

Hitta en primitiv funktionF(x)=x3F(x) = x^3
Sätt in övre gränsenF(2)=8F(2) = 8
Sätt in undre gränsenF(0)=0F(0) = 0
Ta skillnaden8−0=88 - 0 = 8

Svar: Integralen är 88.

Vanliga fel

  • Att kasta om gränserna. Övre minus undre, aldrig tvärtom, annars byter svaret tecken.
  • Att ta med konstanten CC. Den tar ut sig själv i subtraktionen, så den behövs inte här.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Integralkalkylens huvudsats. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/integralkalkylens-huvudsats/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0. Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad Källa: Skolverkets formelblad Ma3Rapportera fel
Ändringar på sidan (3)

  • Förtydligat: Sidan sa att man aldrig behöver summera rektanglar. Det gäller när en primitiv funktion går att hitta. Förklaringen av hakparentesen säger nu också att värdet i undre gränsen dras från värdet i övre.
  • Rättat: Figurens avläsning hette area men visade integralen, som blir negativ under x-axeln. Den heter nu integral, och gränsreglagen står under en egen rubrik.
  • Förtydligat: Sidan visar nu att formelbladet kallar satsen integralkalkylens fundamentalsats och skriver den med hakparentes.