Formelsamling

Cosinussatsen

Cosinussatsen ger den tredje sidan när du känner två sidor och vinkeln mellan dem, och vinkeln när du känner alla tre sidorna.

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(A)

Finns iMa3

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025
Matematik 3c
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare
Matematik fortsättning nivå 1c

Variabler

SymbolBetydelseEnhet
aaSidan mitt emot vinkeln AAlängdenhet
bbDen ena kända sidanlängdenhet
ccDen andra kända sidanlängdenhet
AAVinkeln mellan sidorna bb och ccgrader

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Fall för Cosinussatsen

OmDå
Två sidor och vinkeln mellan dem är kändaSätt in och ta roten ur, så får du sidan aa
Alla tre sidorna är kändaLös ut vinkeln, cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, och ta arccos

Cosinussatsen i en bild

Vinkeln A och sidan a mitt emot den. Är A rät försvinner sista termen och kvar står Pythagoras sats.

TriangelEn triangel med hörnen A, B, C.ABCabc

När används Cosinussatsen?

Cosinussatsen är Pythagoras sats generaliserad till alla trianglar. Är vinkeln AA rät blir cos⁡90∘=0\cos 90^{\circ} = 0, korrektionstermen försvinner och kvar står a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2.

Termen −2bccos⁡A-2bc \cos A är alltså precis den justering som behövs när vinkeln inte är rät. Är vinkeln spetsig blir sidan kortare än Pythagoras skulle ge, är den trubbig blir den längre.

Satsen används också baklänges. Känner du alla tre sidorna löser du ut cos⁡A\cos A och tar arccos, så öva båda hållen.

Exempel

En triangel har sidorna 55 och 77 med vinkeln 60∘60^{\circ} mellan dem. Hur lång är tredje sidan?

Sätt in i formelna2=52+72−2⋅5⋅7cos⁡60∘a^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cos 60^{\circ}
Cosinus för 60 grader är en halva2=25+49−70⋅0,5a^2 = 25 + 49 - 70 \cdot 0{,}5
Räkna uta2=74−35=39a^2 = 74 - 35 = 39
Ta roten ura=39≈6,24a = \sqrt{39} \approx 6{,}24

Svar: Tredje sidan är cirka 6,246{,}24.

Vanliga fel

  • Att använda fel vinkel. Vinkeln AA ska ligga mitt emot sidan aa, alltså mellan bb och cc.
  • Att glömma ta roten ur till slut. Formeln ger a2a^2, inte aa.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Cosinussatsen. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/cosinussatsen/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0. Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad Källa: Skolverkets formelblad Ma3Rapportera fel
Ändringar på sidan (2)

  • Förtydligat: Vanligt fel sa att vinkeln ska ligga mellan de två kända sidorna, vilket inte passar när alla tre sidorna är kända. Det säger nu att vinkeln AA ligger mitt emot sidan aa, mellan bb och cc.
  • Förtydligat: Sidan visar nu också hur vinkeln räknas ut när alla tre sidorna är kända.