Formelsamling

Geometrisk summa

Summan av de nn första talen i en geometrisk talföljd är a1(kn−1)k−1\frac{a_1(k^n-1)}{k-1}.

sn=a1(kn−1)k−1s_n = \frac{a_1(k^n - 1)}{k - 1}

s_n = a_1 * (k^n - 1) / (k - 1)

Finns iMa3

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025
Matematik 3b
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare
Matematik fortsättning nivå 1b

Variabler

SymbolBetydelse
sns_nSumman av de n första talen
a1a_1Det första talet
kkKvoten
nnAntalet termer

Gäller när

  • Kvoten kk får inte vara ett, eftersom nämnaren då blir noll.

När används Geometrisk summa?

Den geometriska summan är formeln bakom sparande med lika stora regelbundna insättningar och fast ränta, och bakom annuitetslån, alltså lån med lika stora betalningar varje månad. Varje insättning hinner växa olika länge, och summan av alla blir en geometrisk summa. Ett lån med rak amortering är något annat: där är amorteringen konstant och räntan minskar linjärt, så den summan är aritmetisk.

Härledningen är kort: multiplicera summan med kk, subtrahera den ursprungliga summan, och nästan alla termer tar ut varandra.

Skolverkets formelblad har den från Matematik 3 och uppåt, under rubriken Aritmetik.

Exempel

Beräkna summan 2+6+18+54+1622 + 6 + 18 + 54 + 162.

Första talet är två och kvoten tre, med fem termera1=2,k=3,n=5a_1 = 2, \quad k = 3, \quad n = 5
Sätt in i formelns5=2(35−1)3−1s_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1}
Räkna ut potensen35=2433^5 = 243
Förenklas5=2⋅2422=242s_5 = \frac{2 \cdot 242}{2} = 242

Svar: Summan är 242242.

Kontroll: Addera direkt, 2+6+18+54+162=2422+6+18+54+162 = 242. Stämmer.

Vanliga fel

  • Att använda formeln när kvoten är ett. Då är alla termer lika och summan är n⋅a1n \cdot a_1.
  • Att räkna fel på antalet termer. nn är hur många tal som adderas, inte det sista talets värde.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Geometrisk summa. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/geometrisk-summa/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0. Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel
Ändringar på sidan (2)

  • Rättat: Sidan var placerad under Ma5. Enligt Skolverkets centrala innehåll hör den till Ma3.
  • Rättat: Sidan sa att formeln ligger bakom allt sparande med regelbundna insättningar. Det gäller lika stora insättningar och fast ränta.