Karakteristiska ekvationen

En homogen andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter översätts till en andragradsekvation, och rötterna ger lösningen.

y'' + ay' + by = 0 \implies r^2 + ar + b = 0

y'' + a*y' + b*y = 0 ger r^2 + a*r + b = 0

Finns iMa5

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 5
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik fördjupning nivå 1

Variabler

Symbol	Betydelse
$y$	Den obekanta funktionen
$a$	Koefficienten framför $y'$
$b$	Koefficienten framför $y$
$r$	Rötterna till den karakteristiska ekvationen

Gäller när

Ekvationen måste vara homogen, alltså ha noll i högerledet, och ha konstanta koefficienter.
Den allmänna lösningen har alltid två konstanter, eftersom ekvationen är av andra ordningen. Två villkor krävs för att bestämma dem.

Fall för Karakteristiska ekvationen

Om	Då
Två reella rötter $r_1 \neq r_2$	$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
En dubbelrot $r$	$y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$
Komplexa rötter $r = \alpha \pm \beta i$	$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

Hur löser man en homogen differentialekvation av andra ordningen?

När en svängning ska beskrivas matematiskt. En fjäder, en pendel med små utslag och en elektrisk svängningskrets leder alla till samma ekvation, och det är det komplexa fallet ovan som ger sinus och cosinus i lösningen.

Översättningen till en andragradsekvation är det som gör problemet hanterbart. Ett problem om funktioner blir ett problem om tal, och tre fall täcker alla möjliga utfall.

Exempel

Lös $y'' - 5y' + 6y = 0$ .

Skriv den karakteristiska ekvationen genom att byta

y''

mot

r^2

y'

mot

r

och

y

mot ett

r^2 - 5r + 6 = 0

Lös andragradsekvationen med pq-formeln

r = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 6}

Räkna ut roten

r = 2{,}5 \pm 0{,}5

Två skilda reella rötter, alltså första fallet

r_1 = 3,\ r_2 = 2

Svar: $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{2x}$

Kontroll: Sätt in $y = e^{3x}$ . Då blir $9e^{3x} - 15e^{3x} + 6e^{3x} = 0$ .

Vanliga fel

Att använda fel fall vid dubbelrot. Två gånger samma exponentialfunktion är inte två oberoende lösningar, vilket är varför faktorn $x$ måste in.
Att kasta bort komplexa rötter. De ger de svängande lösningarna.
Att bestämma konstanterna med bara ett villkor. En andra ordningens ekvation behöver två, oftast värdet och derivatan i en punkt.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Karakteristiska ekvationen. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/karakteristiska-ekvationen/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-25Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (2)

2026-09-25

Förtydligat: Frågan sidan besvarar gällde alla andra ordningens ekvationer och gäller nu homogena. Ett vanligt fel kallade de svängande lösningarna de fysikaliskt intressanta, och den värderingen är struken.
Rättat: Sidan sa att en pendel leder till samma ekvation som en fjäder. Det gäller en pendel med små utslag.