Differentialekvationer

Formler för differentialekvationer på gymnasiet: separabla ekvationer och linjära ekvationer av första ordningen, med räknade exempel.

Differentialekvationer finns i Matematik 5. Varje formel står under den kurs där den först dyker upp.

Beteckningar i differentialekvationer

Vad bokstäverna betyder i differentialekvationer och vilken enhet de har. Varje betydelse länkar till formeln den är hämtad ur.

Beteckning	Betyder	Enhet
$a$	Koefficienten framför $y'$	ingen
$a$	Koefficienten framför $y$ , en konstant skild från noll	ingen
$b$	Koefficienten framför $y$	ingen
$b$	Högerledet, en konstant	ingen
$C$	Konstanten, bestäms av begynnelsevillkoret	ingen
	Integrationskonstanten, som bestäms av ett begynnelsevillkor	ingen
	Integrationskonstanten, som bestäms av begynnelsevillkoret	ingen
$f(x)$	Faktorn som bara beror på $x$	ingen
$g(y)$	Faktorn som bara beror på $y$	ingen
$k$	Proportionalitetskonstanten, i exemplet per timme	ett genom enheten för x
$r$	Rötterna till den karakteristiska ekvationen	ingen
$x$	Den oberoende variabeln, ofta tiden	ingen
$y$	Den obekanta funktionen	ingen
$y$	Den okända funktionen	ingen
$y'$	Funktionens derivata	ingen

Differentialekvationen y' = ky
$y' = ky \implies y = Ce^{kx}$
Karakteristiska ekvationen
$y'' + ay' + by = 0 \implies r^2 + ar + b = 0$
Linjära differentialekvationer av första ordningen
$y' + ay = b \implies y = Ce^{-ax} + \frac{b}{a}$
Separabla differentialekvationer
$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \implies \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$