Linjära differentialekvationer av första ordningen

Ekvationen $y' + ay = b$ , där $a \neq 0$ och $b$ är konstanter, har en lösning som består av en exponentiell del och ett konstant jämviktsläge. Den exponentiella delen avtar när $a > 0$ .

y' + ay = b \implies y = Ce^{-ax} + \frac{b}{a}

y' + a*y = b ger y = C * e^(-a*x) + b/a

Finns iMa5

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 5
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik fördjupning nivå 1

Variabler

Symbol	Betydelse
$y$	Den obekanta funktionen
$y'$	Funktionens derivata
$a$	Koefficienten framför $y$ , en konstant skild från noll
$b$	Högerledet, en konstant
$C$	Integrationskonstanten, som bestäms av ett begynnelsevillkor

Gäller när

$a \neq 0$ . Är $a$ noll är ekvationen $y' = b$ och löses genom en enkel integration.
Termen $\frac{b}{a}$ är jämviktsläget, alltså den konstanta lösning där derivatan är noll.
Är $a > 0$ går lösningen mot jämviktsläget när $x$ växer. Är $a < 0$ och $C \neq 0$ växer avståndet till jämviktsläget i stället bortom alla gränser.

Hur löser man y prim plus ay lika med b?

När något närmar sig ett jämviktsläge i stället för mot noll. Newtons avsvalningslag, koncentrationen i ett genomströmmat kärl och laddningen i en kondensator har alla den här formen, och alla tre har ett värde de landar på snarare än försvinner mot.

Lösningen består av två delar som är värda att känna igen var för sig. Den konstanta delen är vad systemet går mot, och exponentialdelen är hur långt ifrån det startade och hur snabbt avståndet krymper.

Exempel

Lös $y' + 2y = 6$ med villkoret $y(0) = 1$ .

Identifiera konstanterna och skriv den allmänna lösningen

a = 2,\ b = 6 \Rightarrow y = Ce^{-2x} + 3

Sätt in begynnelsevillkoret

1 = Ce^{0} + 3

Lös ut konstanten

C = -2

Skriv den partikulära lösningen

y = -2e^{-2x} + 3

Svar: $y = 3 - 2e^{-2x}$

Kontroll: Derivering ger $y' = 4e^{-2x}$ , och $y' + 2y = 4e^{-2x} + 6 - 4e^{-2x} = 6$ .

Vanliga fel

Att glömma jämviktstermen. Utan $\frac{b}{a}$ löser funktionen den homogena ekvationen $y' + ay = 0$ , inte den givna.
Att få fel tecken i exponenten. Koefficienten är $a$ i ekvationen och $-a$ i exponenten.
Att bestämma $C$ innan jämviktstermen är på plats. Begynnelsevillkoret gäller hela lösningen.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Linjära differentialekvationer av första ordningen. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/forsta-ordningens-linjara-de/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-25Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (1)

2026-09-25

Rättat: Sidan sa att en linjär ekvation med konstanta koefficienter alltid har en exponentiell del och ett konstant jämviktsläge. Det gäller ekvationen $y' + ay = b$ .