Kongruensräkning

Två tal är kongruenta modulo n när differensen mellan dem är delbar med n, alltså när de ger samma rest.

Kallas också Modulär aritmetik.

a \equiv b \pmod{n}

a kongruent med b modulo n

Finns iMa5

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 5
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik fördjupning nivå 1

Variabler

Symbol	Betydelse
$a$	Det ena talet, ett heltal
$b$	Det andra talet, ett heltal
$n$	Modulen, det positiva heltal som divideras med

Gäller när

Påståendet betyder att $n$ delar differensen $a - b$ .
Kongruenser får adderas, subtraheras och multipliceras led för led, precis som ekvationer.
Division är däremot inte fri. Att förkorta bort en faktor kräver att faktorn saknar gemensam delare större än ett med $n$ .

Fall för Kongruensräkning

Om	Då
$a \equiv b$ och $c \equiv d$ , båda modulo $n$	$a + c \equiv b + d$ och $ac \equiv bd$ , modulo $n$
$a \equiv b \pmod{n}$ och $k$ är ett positivt heltal	$a^k \equiv b^k \pmod{n}$ , vilket är vad som gör stora potenser räknebara

Vad betyder kongruent modulo n?

När bara resten är intressant och talen själva är för stora att räkna med. Veckodagar, skottår och kontrollsiffror i personnummer är alla kongruensräkning, och det är också grunden för den kryptering som används när en webbsida hämtas.

Skrivsättet ser ut som en likhet och beter sig nästan som en. Addition, subtraktion och multiplikation fungerar led för led, vilket är precis vad som gör att en potens med hundra i exponenten går att räkna i huvudet.

Exempel

Vilken rest ger $7^{100}$ vid division med $5$ ?

Byt ut 7 mot sin rest modulo 5, vilket är tillåtet i en kongruens

7 \equiv 2 \pmod{5}

Potensregeln ger då samma sak för hela potensen

7^{100} \equiv 2^{100} \pmod{5}

Leta efter en liten potens av 2 som blir 1. Redan

2^4 = 16

duger

2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}

Skriv exponenten som en multipel av 4

2^{100} = (2^4)^{25} \equiv 1^{25} = 1 \pmod{5}

Svar: Resten är $1$ .

Kontroll: $7^2 = 49$ ger rest 4, $7^4$ ger rest 1, och resterna upprepar sig med period 4. 100 är delbart med 4.

Vanliga fel

Att förkorta bort en faktor som har en gemensam delare med modulen. Ur $2x \equiv 2y \pmod{4}$ följer inte $x \equiv y \pmod{4}$ .
Att räkna ut den stora potensen först. Poängen är att slippa det, genom att byta ut talen mot sina rester tidigt.
Att hantera negativa tal som vissa räknare och programspråk gör. $-3 \equiv 2 \pmod{5}$ eftersom differensen $-5$ är delbar med $5$ , så resten av $-3$ är $2$ och inte $-3$ .

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Kongruensräkning. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/kongruensrakning/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-25Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (1)

2026-09-25

Förtydligat: Vanligt fel förklarar nu varför $-3 \equiv 2 \pmod{5}$ : differensen $-5$ är delbar med $5$ .