Induktionsbevis

Ett induktionsbevis visar att ett påstående gäller för alla positiva heltal genom ett basfall och ett ärvningssteg.

P(1) \text{ och } \big(P(n) \implies P(n+1) \text{ för alla } n\big) \implies P(n) \text{ för alla } n

P(1), och P(n) medför P(n+1) för alla n, alltså gäller P(n) för alla n

Finns iMa5

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 5
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik fördjupning nivå 1

Variabler

Symbol	Betydelse
$P(n)$	Påståendet för talet $n$
$n$	Ett positivt heltal

Gäller när

Båda stegen krävs. Ett basfall utan induktionssteg bevisar bara ett enda fall.

När används Induktionsbevis?

Bilden att använda är dominobrickor. Basfallet är att första brickan faller, och induktionssteget är att varje bricka välter nästa. Tillsammans faller alla.

Induktion bevisar att en formel stämmer, men visar inte var den kommer ifrån. Därför måste formeln vara känd, given eller gissad, innan beviset börjar.

Exempel

Visa att $1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Basfallet

n = 1

1 = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1

Anta att formeln gäller för

n

. Summan till

n+1

är då summan till

n

plus nästa term

1 + 2 + \ldots + n + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)

Bryt ut

(n+1)

(n+1)\left(\frac{n}{2} + 1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}

Svar: Uttrycket har formen $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ , alltså formeln för $n+1$ . Beviset är klart.

Vanliga fel

Att glömma basfallet. Utan det kan ärvningssteget gälla för ett påstående som är falskt överallt.
Att anta det man ska bevisa för alla $n$ . Antagandet gäller ett enda, godtyckligt $n$ , och slutsatsen är $n+1$ .

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Induktionsbevis. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/induktionsbevis/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-25Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (2)

2026-09-25

Förtydligat: Sidan sa att beviset alltid börjar med att någon gissat formeln. Nu står det att formeln måste vara känd, given eller gissad, innan beviset börjar.
Förtydligat: Formeln och exemplet visar nu tydligare att ärvningssteget ska gälla för alla $n$ .