Formelsamling

Största gemensamma delare

Största gemensamma delare hittas med Euklides algoritm, och därifrån följer minsta gemensamma multipel direkt.

SGD(a,b)⋅MGM(a,b)=ab\text{SGD}(a, b) \cdot \text{MGM}(a, b) = ab

SGD(a, b) * MGM(a, b) = a * b

Finns iMa5

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Ingen kurs eller nivå. Inget centralt innehåll i Gy11 eller Gy25 tar upp den.

Läroböcker för Matematik 5 tar ändå upp den, till exempel Matematik 5000+ Kurs 5 (Natur & Kultur, 2021).

Variabler

SymbolBetydelse
aaDet ena talet
bbDet andra talet
SGD(a,b)\text{SGD}(a, b)Största heltal som delar båda talen
MGM(a,b)\text{MGM}(a, b)Minsta positiva heltal som båda talen delar

Gäller när

  • Båda talen är positiva heltal.
  • Euklides algoritm är upprepad division med rest. Dividera det större med det mindre, ersätt talen med divisor och rest, och fortsätt tills resten är noll. Det tal du delade med i sista divisionen är SGD.

Hur räknar man ut största gemensamma delare?

När ett bråk ska förkortas så långt det går, eller när två förlopp med olika period ska sammanfalla igen. Euklides algoritm är den snabba vägen dit och kräver ingen faktorisering, vilket är avgörande för stora tal där faktorisering är opraktisk.

Algoritmen är över två tusen år gammal och används fortfarande oförändrad, bland annat för att lösa diofantiska ekvationer och för att hitta inverser i kongruensräkning.

Exempel

Bestäm SGD och MGM för 4848 och 1818.

Dividera det större med det mindre och notera resten48=2⋅18+1248 = 2 \cdot 18 + 12
Fortsätt med divisor och rest18=1⋅12+618 = 1 \cdot 12 + 6
En gång till. Resten blir noll, så algoritmen stannar12=2⋅6+012 = 2 \cdot 6 + 0
Det tal du delade med i sista divisionen är största gemensamma delareSGD(48,18)=6\text{SGD}(48, 18) = 6
MGM fås ur sambandet mellan de tvåMGM(48,18)=48⋅186=144\text{MGM}(48, 18) = \frac{48 \cdot 18}{6} = 144

Svar: SGD=6\text{SGD} = 6 och MGM=144\text{MGM} = 144.

Kontroll: 144144 delat med 4848 är 33 och delat med 1818 är 88, båda heltal, så 144144 är en gemensam multipel.

Vanliga fel

  • Att stanna vid första resten. Algoritmen fortsätter tills resten är noll, och svaret är det tal du delade med i sista divisionen.
  • Att ta noll som svar. Noll är alltid sista resten och aldrig svaret.
  • Att räkna MGM som produkten av talen. Det stämmer bara när SGD är ett, alltså när talen saknar gemensam delare större än ett.

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Största gemensamma delare. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/storsta-gemensamma-delare/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0. Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel
Ändringar på sidan (1)

  • Rättat: Sidan sa att SGD är den sista nollskilda resten. För 18 och 6 finns ingen sådan rest. SGD är det tal du delade med i sista divisionen.