Formelsamling

Binomialsatsen

Binomialsatsen säger hur (a+b)n(a+b)^n utvecklas, med binomialkoefficienterna som koefficienter.

(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
Finns iMa5

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Ingen kurs eller nivå. Inget centralt innehåll i Gy11 eller Gy25 tar upp den.

Läroböcker för Matematik 5 tar ändå upp den, till exempel Matematik 5000+ Kurs 5 (Natur & Kultur, 2021).

Variabler

SymbolBetydelse
aaDen ena termen i parentesen, ett tal eller ett uttryck
bbDen andra termen i parentesen, ett tal eller ett uttryck
nnExponenten, ett positivt heltal
kkSummationsindex, går från noll till n
(nk)\binom{n}{k}Binomialkoefficienten, antalet sätt att välja k av n

När används Binomialsatsen?

Binomialsatsen är kvadreringsregeln generaliserad. För n=2n = 2 ger den a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2, alltså precis första kvadreringsregeln, och för n=3n = 3 den kubregel som står på formelbladet i Matematik 3. För (a−b)n(a - b)^n sätter du in −b-b i stället för bb, och tecknen växlar då term för term.

Koefficienterna är raderna i Pascals triangel, där varje tal är summan av de två ovanför. Det är samma tal som räknar kombinationer, vilket inte är en slump: att välja vilka kk av nn parenteser som bidrar med ett bb är precis vad utvecklingen gör.

Exempel

Utveckla (a+b)3(a + b)^3 med binomialsatsen.

Koefficienterna är binomialkoefficienterna för n lika med 3(30)=1, (31)=3, (32)=3, (33)=1\binom{3}{0} = 1, \ \binom{3}{1} = 3, \ \binom{3}{2} = 3, \ \binom{3}{3} = 1
Exponenten på a sjunker och på b stiger(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Svar: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.

Kontroll: Sätt a=b=1a = b = 1. Vänsterledet är 88, högerledet 1+3+3+1=81+3+3+1 = 8. Stämmer.

Vanliga fel

  • Att glömma att exponenterna alltid summerar till nn i varje term.
  • Att tro att (a+b)n=an+bn(a + b)^n = a^n + b^n. Alla mellantermer med binomialkoefficienter försvinner då, och redan för n=2n = 2 saknas 2ab2ab.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Binomialsatsen. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/binomialsatsen/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0. Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel
Ändringar på sidan (1)

  • Förtydligat: Nytt vanligt fel: (a+b)n(a + b)^n är inte an+bna^n + b^n. Sidan visar också hur tecknen växlar för (a−b)n(a - b)^n.