Separabla differentialekvationer

En separabel differentialekvation löses genom att samla alla y i ena ledet och alla x i det andra, och sedan integrera.

\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \implies \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx

dy/dx = f(x)*g(y) ger integral av dy/g(y) = integral av f(x) dx

Finns iMa5

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Ingen kurs eller nivå. Inget centralt innehåll i Gy11 eller Gy25 tar upp den.

Läroböcker för Matematik 5 tar ändå upp den, till exempel Matematik Origo 5 (Sanoma Utbildning, 2023) (öppnas i ny flik).

Variabler

Symbol	Betydelse
$y$	Den okända funktionen
$x$	Den oberoende variabeln
$f(x)$	Faktorn som bara beror på $x$
$g(y)$	Faktorn som bara beror på $y$
$C$	Integrationskonstanten, som bestäms av begynnelsevillkoret

Gäller när

Kräver att $g(y) \neq 0$ . Nollställena till $g$ ger egna, konstanta lösningar.

När används Separabla differentialekvationer?

Separationen är ett räknetrick som ser tveksamt ut och är korrekt: att behandla $\frac{dy}{dx}$ som ett bråk går att motivera strikt med kedjeregeln.

Metoden räcker för de vanliga tillämpningarna av första ordningen, eftersom tillväxt, avsvalning och radioaktivt sönderfall alla ger separabla ekvationer. Homogena andra ordningens linjära ekvationer med konstanta koefficienter löses i stället med den karakteristiska ekvationen. Den enklaste, $y' = ky$ , är specialfallet $f(x) = k$ och $g(y) = y$ .

Exempel

Lös $y' = xy$ med $y(0) = 2$ .

Separera variablerna

\frac{dy}{y} = x\,dx

Integrera båda leden

\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C

e

upphöjt till båda leden

|y| = e^{C} e^{x^2/2}

Skriv

A = \pm e^C

, så att

A

tar hand om både konstanten och tecknet

y = Ae^{x^2/2}

Sätt in begynnelsevillkoret

y(0) = 2

2 = Ae^0 \implies A = 2

Svar: $y = 2e^{x^2/2}$ .

Vanliga fel

Att glömma integrationskonstanten. Utan den får du en lösning i stället för alla.
Att dividera med $g(y)$ utan att kontrollera nollställena. Där kan det finnas konstanta lösningar som metoden tappar bort.

Bygger på

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Separabla differentialekvationer. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/separabla-differentialekvationer/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-25Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (2)

2026-09-25

Rättat: Sidan sa att andra ordningens linjära ekvationer löses med den karakteristiska ekvationen. Det gäller homogena ekvationer med konstanta koefficienter.
Förtydligat: Exemplet visar nu hur absolutbeloppet och konstanten hanteras.