Differentialekvationen y' = ky

Ekvationen $y' = ky$ har lösningen $y = Ce^{kx}$ . En storhet vars förändringstakt är proportionell mot storheten själv växer eller avtar exponentiellt.

y' = ky \implies y = Ce^{kx}

y' = k*y ger y = C * e^(k*x)

Finns iMa5

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Gy11, för dig som började gymnasiet före hösten 2025: Matematik 5
Gy25, för dig som började hösten 2025 eller senare: Matematik fördjupning nivå 1

Variabler

Symbol	Betydelse	Enhet
$y$	Den obekanta funktionen
$x$	Den oberoende variabeln, ofta tiden
$k$	Proportionalitetskonstanten, i exemplet per timme	ett genom enheten för x
$C$	Konstanten, bestäms av begynnelsevillkoret

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Differentialekvationen y' = ky i en graf

När används Differentialekvationen y' = ky?

En differentialekvation beskriver ett samband mellan en storhet och hur snabbt den ändras. Den enklaste säger att förändringstakten är proportionell mot storleken själv, vilket ger exponentiell tillväxt eller avtagande.

Det är samma ekvation för bakterier, ränta som räknas kontinuerligt och radioaktivt sönderfall, vilket är varför $e$ dyker upp i alla tre. Avsvalning följer den också, men för temperaturskillnaden mot omgivningen, inte för temperaturen själv.

Exempel

En bakteriekultur växer så att $y' = 0{,}050y$ , där $x$ är tiden i timmar. Vid tiden noll finns $1000$ bakterier. Hur många finns efter $20$ timmar?

Lösningen har formen C gånger e upphöjt till kx

y = Ce^{0{,}050x}

Begynnelsevillkoret ger C

y(0) = C = 1000

Sätt in tjugo timmar. Exponenten blir

0{,}050 \cdot 20 = 1

y(20) = 1000e = 2718{,}28\ldots

Tillväxthastigheten

0{,}050

har två värdesiffror, så svaret avrundas till två. Antalet vid start och tiden är exakta

y(20) \approx 2700

Svar: Efter tjugo timmar finns cirka $2700$ bakterier.

Vanliga fel

Att glömma bestämma $C$ . Utan begynnelsevillkor har ekvationen oändligt många lösningar.
Att blanda ihop $k$ och $C$ . $k$ styr hur snabbt det går, $C$ var det började.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Differentialekvationen y' = ky. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/differentialekvation/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-10-10Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (4)

2026-10-10

Förtydligat: Sidan har nu en graf över exemplets bakterietillväxt, med antalet efter tjugo timmar avläst.

2026-09-26

Förtydligat: Exemplet svarade cirka $2718$ bakterier, med fler siffror än modellen bär. Nu är tillväxthastigheten skriven $0{,}050$ , exemplet visar $1000e = 2718{,}28\ldots$ och svaret är cirka $2700$ , avrundat till två värdesiffror.

2026-09-25

Förtydligat: Sidan sa att ränta följer ekvationen. Det gäller ränta som räknas kontinuerligt, och sidan anger nu att $k$ har enheten per $x$ -enhet.
Rättat: Sidan sa att avsvalning följer samma ekvation. Det gör temperaturskillnaden mot omgivningen, inte temperaturen själv.