Diofantiska ekvationer

En linjär diofantisk ekvation har heltalslösningar precis när största gemensamma delaren till koefficienterna delar högerledet.

ax + by = c

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Ingen kurs eller nivå. Inget centralt innehåll i Gy11 eller Gy25 tar upp den. Den hör därför inte till någon kurs här.

Variabler

Symbol	Betydelse
$a$	Koefficienten framför $x$ , ett heltal
$b$	Koefficienten framför $y$ , ett heltal
$c$	Högerledet, ett heltal
$x$	Den ena obekanta, som ska vara ett heltal
$y$	Den andra obekanta, som ska vara ett heltal

Gäller när

$a$ och $b$ får inte båda vara noll. Lösningar finns precis när $\text{SGD}(a, b)$ delar $c$ . Gör den inte det finns ingen heltalslösning alls.
Finns en lösning finns oändligt många. Från en lösning $(x_0, y_0)$ fås alla andra som $x = x_0 + \frac{b}{d}t$ och $y = y_0 - \frac{a}{d}t$ , där $d$ är SGD och $t$ är ett godtyckligt heltal.

När har en linjär diofantisk ekvation lösningar?

När svaret måste vara ett heltal för att betyda något. Antal mynt, antal paket och antal personer går inte att ha i decimalform, och då räcker det inte med att lösa ekvationen på vanligt sätt.

En linjär ekvation med två obekanta har oändligt många lösningar och beskriver en linje. Kravet på heltal plockar ut de punkter på linjen som ligger i rutnätet, och de ligger jämnt utspridda, vilket är vad parametern $t$ beskriver.

Exempel

Lös $6x + 9y = 21$ i heltal.

Bestäm SGD för koefficienterna och kontrollera villkoret

\text{SGD}(6, 9) = 3 \text{ och } 3 \mid 21

Villkoret är uppfyllt. Förkorta hela ekvationen med 3

2x + 3y = 7

Hitta en lösning genom att prova.

x = 2

ger

3y = 3

x_0 = 2 \quad y_0 = 1

Skriv den allmänna lösningen med de förkortade koefficienterna

x = 2 + 3t \quad y = 1 - 2t

Svar: $x = 2 + 3t$ och $y = 1 - 2t$ , där $t$ är ett godtyckligt heltal.

Kontroll: Sätt $t = 1$ , alltså $x = 5$ och $y = -1$ . Då blir $6 \cdot 5 + 9 \cdot (-1) = 30 - 9 = 21$ .

Vanliga fel

Att leta efter lösningar utan att först kontrollera delbarhetsvillkoret. Delar inte SGD högerledet är sökandet bortkastat.
Att stanna vid en lösning. Uppgiften frågar ofta efter alla, och utan andra krav är de oändligt många.
Att använda de oförkortade koefficienterna i den allmänna lösningen. Stegen är $\frac{b}{d}$ och $\frac{a}{d}$ , inte $b$ och $a$ .
Att svara med alla heltal $t$ i en tillämpning. Antal mynt eller personer kan inte vara negativa, så där tas bara de $t$ som ger $x \ge 0$ och $y \ge 0$ , och antalet lösningar blir ändligt.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Diofantiska ekvationer. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/diofantiska-ekvationer/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-26Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (3)

2026-09-26

Rättat: Sidan stod under Matte 5. Varken Skolverket eller läroböckerna för kursen visar att den ingår, så den står nu inte under någon kurs.

2026-09-25

Förtydligat: Sidan sa att en ekvation med två obekanta normalt beskriver en linje. Det gäller en linjär ekvation, och villkoren säger nu att $a$ och $b$ inte båda får vara noll.
Rättat: Vanligt fel sa att uppgiften nästan alltid frågar efter alla lösningar. Det gör den ofta, och i en tillämpning kan antalet lösningar vara ändligt.