Handskakningslemmat

Varje kant i en graf bidrar till graden hos två noder, så gradsumman är alltid exakt dubbla antalet kanter.

Kallas också Handskakningssatsen.

\sum_{v} \deg(v) = 2m

summan av alla grader = 2 * antalet kanter

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Ingen kurs eller nivå. Inget centralt innehåll i Gy11 eller Gy25 tar upp den. Den hör därför inte till någon kurs här.

Variabler

Symbol	Betydelse	Enhet
$\deg(v)$	Graden hos noden $v$ , alltså antalet kanter som möter den	styck
$m$	Antalet kanter i grafen	styck

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Gäller när

Satsen gäller varje graf, sammanhängande eller inte.
En ögla, alltså en kant från en nod till sig själv, räknas som två i den nodens grad.

Fall för Handskakningslemmat

Om	Då
Gradsumman är udda	Grafen kan inte finnas. Summan är alltid jämn
Antalet noder med udda grad räknas	Det är alltid ett jämnt antal, vilket följer direkt av satsen

Handskakningslemmat i en bild

Varje kant har två ändar, så gradtalen tillsammans blir alltid dubbelt så många som kanterna.

Vad säger handskakningslemmat?

När en graf ska kontrolleras innan den ritas, eller när antalet kanter söks utan att de räknas en och en. Namnet kommer från formuleringen att antalet personer i ett sällskap som skakat hand ett udda antal gånger alltid är jämnt.

Satsen hänger ihop med Eulers kriterium: den förklarar varför en graf aldrig har exakt en nod med udda grad. Att en krets kräver jämn grad hos varje nod går att inse ur att varje besök i en nod använder två kanter, en in och en ut.

Grafteori stod i ämnesplanen för Matematik 5 till och med läsåret 2020/21 och finns inte i den nuvarande, så det är läroboken och läraren som avgör om den ingår i din kurs.

Exempel

En graf har fem noder med graderna $3, 3, 2, 2$ och $2$ . Hur många kanter har den?

Summera graderna

\sum_{v} \deg(v) = 3 + 3 + 2 + 2 + 2 = 12

Gradsumman är dubbla antalet kanter

2m = 12

Dividera med två

m = 6

Svar: Grafen har $6$ kanter.

Kontroll: Två noder har udda grad, alltså ett jämnt antal, vilket satsen kräver.

Vanliga fel

Att tro att antalet noder med udda grad kan vara udda. Det kan det aldrig.
Att räkna en ögla som ett. Den möter noden två gånger och räknas som två.
Att blanda ihop grad och antal grannar. I en graf med flera kanter mellan samma två noder är de inte samma sak.

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Handskakningslemmat. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/handskakningslemmat/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-26Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (3)

2026-09-26

Rättat: Sidan stod under Matte 5. Grafteorin lämnade kursen 2021-07-01, så sidan hör nu inte till någon kurs.

2026-09-25

Förtydligat: Sidan sa att grafteori stod i ämnesplanen för Matematik 5 till och med 2021, och att satsen är grunden för Eulers kriterium. Nu står det läsåret 2020/21, och att satsen förklarar varför ingen graf har exakt en nod med udda grad.
Rättat: Vanligt fel påstod utan belägg att det är den vanligaste sortens felaktiga graf i uppgifter.