Eulerkrets och eulerväg

En rundtur som använder varje kant exakt en gång finns precis när alla kanter hör till samma sammanhängande del och varje nod har jämn grad.

\deg(v) \equiv 0 \pmod{2} \text{ för alla noder } v

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Ingen kurs eller nivå. Inget centralt innehåll i Gy11 eller Gy25 tar upp den. Den hör därför inte till någon kurs här.

Variabler

Symbol	Betydelse	Enhet
$\deg(v)$	Graden hos noden $v$ , alltså antalet kanter som möter den	styck
$v$	En nod i grafen

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Gäller när

Alla kanter måste höra till samma sammanhängande del. Har två delar kanter var för sig finns ingen genomgående väg, oavsett grader. Noder utan kanter spelar ingen roll.
Kriteriet gäller kanter, inte noder. En eulerkrets går längs varje kant en gång, men får passera en nod flera gånger.

Fall för Eulerkrets och eulerväg

Om	Då
Alla noder har jämn grad	Det finns en eulerkrets, alltså en rundtur som slutar där den började
Exakt två noder har udda grad	Det finns en eulerväg men ingen krets. Vägen måste börja i den ena udda noden och sluta i den andra
Fler än två noder har udda grad	Det finns varken väg eller krets

Eulerkrets och eulerväg i en bild

En eulerkrets finns bara om varje nod har jämnt gradtal. Räkna kanterna vid varje nod och se efter.

När finns det en eulerkrets i en graf?

När en rutt ska täcka varje sträcka exakt en gång. Sophämtning, snöröjning och postutdelning är samma problem, och kriteriet avgör på sekunder om en sådan rutt över huvud taget finns innan någon börjar leta efter den.

Problemet med Königsbergs broar från 1736 är grafteorins startpunkt. Euler visade att svaret inte beror på broarnas läge utan bara på hur många som möts vid varje strand, vilket är vad det innebär att göra en karta till en graf.

Grafteori stod i ämnesplanen för Matematik 5 till och med läsåret 2020/21 och finns inte i den nuvarande, så det är läroboken och läraren som avgör om den ingår i din kurs.

Exempel

Königsbergs sju broar förband fyra landområden. Graderna var $3, 3, 3$ och $5$ . Går det att gå över varje bro exakt en gång?

Räkna noderna med udda grad. Alla fyra graderna är udda

3,\ 3,\ 3,\ 5

Fyra udda noder är fler än två, så inget av kriterierna är uppfyllt

4 > 2

Kontrollera gradsumman mot antalet broar

3 + 3 + 3 + 5 = 14 = 2 \cdot 7

Svar: Nej. Med fyra noder av udda grad finns varken eulerväg eller eulerkrets.

Kontroll: Gradsumman 14 ger sju kanter, vilket stämmer med de sju broarna.

Vanliga fel

Att glömma kravet på att grafen hänger ihop. Jämna grader räcker inte om grafen består av två separata delar.
Att förväxla eulerkrets med hamiltonkrets. Euler handlar om att använda varje kant, Hamilton om att besöka varje nod.
Att tro att en eulerväg kan börja var som helst. Med två udda noder måste den börja i den ena av dem.

Bygger på

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Eulerkrets och eulerväg. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/eulerkrets/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-26Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (3)

2026-09-26

Rättat: Sidan stod under Matte 5. Grafteorin lämnade kursen 2021-07-01, så sidan hör nu inte till någon kurs.

2026-09-25

Förtydligat: Sidan sa att grafteori stod i ämnesplanen för Matematik 5 till och med 2021. Den försvann 2021-07-01, så sidan säger nu till och med läsåret 2020/21.
Rättat: Sidan sa att hela grafen måste hänga ihop. Det räcker att alla kanter hör till samma del. En ensam nod utan kanter spelar ingen roll.