Eulers polyederformel

För varje sammanhängande graf som går att rita utan korsande kanter är antalet noder minus antalet kanter plus antalet områden alltid två.

n - m + f = 2

Enligt Skolverkets centrala innehåll ingår formeln i

Ingen kurs eller nivå. Inget centralt innehåll i Gy11 eller Gy25 tar upp den. Den hör därför inte till någon kurs här.

Variabler

Symbol	Betydelse	Enhet
$n$	Antalet noder, alltså hörn	styck
$m$	Antalet kanter	styck
$f$	Antalet områden grafen delar planet i, inklusive det obegränsade området utanför	styck

Enheterna i formlerna, och vad var och en mäter

Gäller när

Grafen måste hänga ihop och gå att rita i planet utan att kanter korsar varandra.
Området utanför grafen räknas med. Utelämnas det blir summan ett i stället för två.

Fall för Eulers polyederformel

Om	Då
Grafen är hörnen och kanterna i en konvex polyeder, eller mer allmänt i en polyeder utan hål	Formeln blir hörn minus kanter plus sidor, och sidorna svarar mot områdena
Grafen är ett träd, alltså saknar kretsar	Det finns bara ett område, och formeln ger $m = n - 1$

Eulers polyederformel i en bild

Räkna noder, kanter och ytor, den obegränsade ytan runt om medräknad. Summan blir alltid två.

Vad säger Eulers polyederformel?

När en plan figur eller en kropp ska kontrolleras, eller när ett av de tre talen saknas och ska räknas fram. Den gäller lika bra för en kub som för en karta över län, eftersom båda är sammanhängande grafer ritade utan korsningar.

Formeln har nästan samma namn som Eulers formel för komplexa tal och är en annan sats av samma person. De har inget med varandra att göra utöver upphovsmannen.

Grafteori stod i ämnesplanen för Matematik 5 till och med läsåret 2020/21 och finns inte i den nuvarande, så det är läroboken och läraren som avgör om den ingår i din kurs.

Exempel

En kub har $8$ hörn, $12$ kanter och $6$ sidor. Stämmer formeln?

Sätt in de tre talen

n - m + f = 8 - 12 + 6

Räkna ut

= 2

Svar: Ja, summan blir $2$ .

Kontroll: En tetraeder har 4 hörn, 6 kanter och 4 sidor, och $4 - 6 + 4 = 2$ också.

Vanliga fel

Att glömma området utanför. Det ger svaret ett i stället för två.
Att använda formeln på en graf med korsande kanter. Den gäller bara plana grafer, alltså de som går att rita om utan korsningar.
Att använda den på en graf i flera delar. Varje ytterligare del lägger till ett till högerledet.

Relaterade formler

Hänvisa till den här sidan

Bergsten, M. (2026). Eulers polyederformel. Formelsamling.se. https://formelsamling.se/formel/eulers-polyederformel/

Texten är fri att använda för undervisning och eget arbete under CC BY 4.0 (öppnas i ny flik). Ange formelsamling.se som källa.

Av Mats BergstenUppdaterad 2026-09-26Källa: Skolverkets ämnesplan i matematikRapportera fel

Ändringar på sidan (3)

2026-09-26

Rättat: Sidan stod under Matte 5. Grafteorin lämnade kursen 2021-07-01, så sidan hör nu inte till någon kurs.

2026-09-25

Förtydligat: Sidan sa att grafteori stod i ämnesplanen för Matematik 5 till och med 2021. Den försvann 2021-07-01, så sidan säger nu till och med läsåret 2020/21.
Rättat: Villkoret gällde alla polyedrar. Formeln gäller konvexa polyedrar och andra utan hål.